2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

这是一份2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科），共41页。试卷主要包含了基础学科的考查重点，高考试卷的命题探究，高考复习的目标导向，平面与平面垂直等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）
适用省份：
四川、广西、贵州、西藏

高考数学全国卷全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、基础学科的考查重点
高考数学是基础性学科，2023年高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。
一是重点考查逻辑推理素养。如第7题，以三角函数为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用三角函数同角公式中的平方关系进行推理论证。
二是深入考查直观想象素养。如第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。
三是扎实考查数学运算素养。试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。如第12题，可用椭圆的定义和余弦定理，求，再用中线的向量公式求OP。
四是加强关键能力考查，增强试题的选拔性。试题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境，加强关键能力的考查。如第21题重视基于数学素养的关键能力的考查，将函数、导数、三角函数与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求。在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。
二、高考试卷的命题探究
高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
一是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。如第6题，取材于滑冰和滑雪两项典型的冰雪运动，具有时代气息，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加体育活动，健体强身，全面发展。又如第9题，以志愿者报名参加公益活动的情境考查排列组合内容，引导学生重视社会责任感，培养学生的创新精神和实践能力。
二是设置科学研究情境。科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。如第19题，研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，将小白鼠随机分配到试验组和对照组，利用成对数据制成列联表，进行独立性检验。
三、高考复习的目标导向
高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求。同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。
一是突出基础性要求。各套试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，实现对基础知识的全方位覆盖。同时，在解答题部分深入考查基础，考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和融会贯通的应用。如第17题，全面考查等比数列、等差数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力。
二是彰显综合性要求。如第10题，是集合、三角函数的综合题，深入考查集合的概念、三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解。
三是体现创新性要求。如第10题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交点的个数，展示函数图象在解决问题过程中的重要作用。
2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严格依据高中课程标准，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强关键能力考查，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革。





题号
分值
题型
考查内容
考查点
1
5
单选题
集合
对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集
2
5
单选题
复数
复数的代数乘法运算，复数相等
3
5
单选题
算法与程序框图
程序框图的运算
4
5
单选题
平面向量
平面向量线性运算，等腰三角形的判断，三角形重心的运用，求向量的夹角
5
5
单选题
等比数列
等比数列前n项和计算，需注意其中条件“正项”
6
5
单选题
概率
条件概率的计算，用古典概型来做的话，可以用Venn图来表示
7
5
单选题
常用的逻辑关系
用三角函数同角公式中的平方关系来判断充分性和必要性，可举反例来判断
8
5
单选题
圆锥曲线
用双曲线的离心率求渐近线，渐近线与圆相交，求弦长
9
5
单选题
计数原理和排列组合
分类加法、分布乘法计数原理以及特殊条件下的组合问题
10
5
单选题
三角函数
三角函数图像的平移问题，三角函数与一次函数交点个数判断，可采用图像法，特值法
11
5
单选题
立体几何
四棱锥，通过三角形全等的方法证明PB=PA，再通过余弦定理计算PA，再计算面积
12
5
单选题
圆锥曲线
可通过椭圆的焦点三角形的面积公式以及等面积法求出P的坐标；可用椭圆的定义和余弦定理，求，再用中线的向量公式求OP
13
5
填空题
函数与三角函数
偶函数+偶函数=偶函数，三角函数为偶，通过二次函数一次项为0时是偶函数得出结果
14
5
填空题
线性规划
根据约束条件作出可行域，根据线性规划求目标函数的最值
15
5
填空题
立体几何
根据正方体的对称性，可知球心到各棱的距离相等，即可求解
16
5
填空题
三角函数
根据余弦定理求出AC，再用等面积法求出AD
17
12
解答题
数列
（1）公式法求通项公式；
（2）用错位相减法求前n项和.
18
12
解答题
立体几何
（1）通过线面、面面垂直的判定与性质定理可得，由勾股定理得O为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出的长及A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.
19
12
解答题
概率与统计
（1）利用超几何分布的知识即可求分布列和期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求的，从而列出列联表；
（ii）根据独立性检验的方法即可求解；

20
12
解答题
圆锥曲线
（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程求出弦长，即可求出p；
（2）设直线为，，再利用，找到的关系，求出的面积表达式，结合二次函数的性质求出最小值.
21
12
解答题
函数与导数
（1）求导化简，通过换元，转化为二次函数判断导函数的正负，即可判断单调性；
（2）构造，计算的最大值，然后与0比较大小，得出a的分界点，讨论即可.
22
10
选做题
极坐标与参数方程
（1）根据直线的几何意义即可求出；
（2）在直角坐标系下求出直线的普通方程，再转化为极坐标方程.
23
10
选做题
不等式
（1）分类讨论：或去掉绝对值，即可求解；
（2）将绝对值函数写成分段函数，画草图，写出面积表达式，即可求出.

1、 强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。
2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，不断巩固阶段性复习成果。
3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接。
4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的。不论题型、题量、难度如何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概念分析解决问题是一切的基础，是能做对所有送分的基础题的基础，是能着手分析难题的基础，也是未来学习大学的专业知识和高等知识的基础。
5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的。现在的难题几乎根本不会出现非常套路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新。就算有旧题型，往往也都是简单的题目，不需要什么特殊的方法也能做出来。

2023年高考全国甲卷数学（理）真题
一、选择题
1．设全集,集合，（    ）
A． B．
C． D．
【命题意图】
本题考察对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为整数集，，所以，．
【知识链接】
1、集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图等；
2、集合的类型：有限集、无限集；
3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；
4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系及Venn图．
2．设，则（    ）
A．-1 B．0          · C．1 D．2
【命题意图】
本题考察复数的代数乘法运算，复数相等求解，难度：容易
【答案】C
【详解】因为，
所以，解得：．
【知识链接】
1、复数的四则运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
z1z2 = a+bic+di = (a+bi)(c-di)(c+di)(c-di) = ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0).
2、复数相等的充要条件
两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等.也就是若a,b,c,d∈R,则a+bi=c+di⇔a=c,b=d.特别地,a+bi=0⇔a=b=0. 
3．执行下面的程序框图，输出的（    ）
    
A．21 B．34 C．55 D．89
【命题意图】
本题考察程序框图模拟运行，难度：容易
【答案】B
【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
【知识链接】
1、程序框图基本概念：
程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。


输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。


处理框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。


判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构
4．已知向量满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察平面向量线性运算，向量的加、减法、数量集运算，三角形重心的运用，求向量的夹角，难度：一般
【答案】D
【详解】因为，所以，即，
即,所以.如图,设,

由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,所以,
,
.
【知识链接】
1、向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算


交换律:
；
结合律:

减法
求与的相反向量的和的运算


数乘
求实数与向量的积的运算
,当时与的方向相同；当时与的方向相反；当时,




　2、向量线性运算常见的结论
（1）若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=12(OA+OB).
（2）在△ABC中,PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心.
（3）若G是△ABC的重心,则GA+GB+GC=0,AG=13(AB+AC).
3、平面向量的数量积
（1）定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫作与的数量积(或内积),记作，即.规定零向量与任一向量的数量积为,即
（2）向量的夹角

①定义:已知两个非零向量和，如右图,作OA=，OB=，则∠AOB=(0°≤≤180°)叫作与的夹角,记作.
②当θ=0°时，与　同向　; 当θ=180°时，与　反向　; 当θ=90°时，与　垂直
5．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ）
A． B． C．15 D．40
【命题意图】
本题考察等比数列的前n项和的计算，列出关于的方程,计算出,即可求出，难度：较易
【答案】C
【详解】由题知,即,
即,即.由题知,所以.
所以.
【知识链接】
1、等比数列的有关概念
一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示,定义的表达式为an+1an=q(q≠0). 
2、等比数列的有关公式
（1）.通项公式:an=a1qn-1. 
（2）.前n项和公式:Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1−q=　a1-anq1−q　(q≠1).

6．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【命题意图】
本题考察条件概率，先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解，难度：较易
【答案】A
【详解】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，所以.
【知识链接】
1、条件概率
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. 
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称上式为概率的乘法公式. 
7．设甲：，乙：，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【命题意图】
本题考察同角三角函数的平方关系，以及充分条件、必要条件的概念，难度：较易
【答案】B
【详解】当时，例如但，
即推不出；当时，，即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件.
【知识链接】
1、同角三角函数的基本关系
（1）.平方关系:sin2α+cos2α=1.
（2）.商数关系:sinαcosα=tan αα≠kπ+π2,k∈Z.
2、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 
p⇒q且q⇒/ p
p是q的充分不必要条件 
p⇒/ q且q⇒p
p是q的必要不充分条件 
p⇔q
p是q的充要条件 
p⇒/ q且q⇒/ p
p是q的既不充分也不必要条件 
8．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长，难度：一般
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
【知识链接】
1、圆的定义和圆的方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:(a,b),半径:r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
即x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F>0)
圆心:-D2,-E2,
半径:12D2+E2-4F
2、直线被圆截得的弦长
弦心距d,弦长l的一半12l及圆的半径r构成一直角三角形,且有r2=d2+12l2.
3、双曲线的标准方程和几何性质

标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:　坐标轴　,对称中心:　原点　 
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
,e∈　(1,+∞)　,其中c= a2+b2
轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　2a　;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　2b　.a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 
a,b,c
的关系
c2=　a2+b2　(c>a>0,c>b>0) 

9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【命题意图】
本题考察分类相加、分布相乘计数原理，组合问题，难度：一般
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
【知识链接】
1、计数原理

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类、相加
分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立,不重不漏
步步相依,缺一不可
2、排列与组合
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照　一定的顺序　排成一列,叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列 
组合
作为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示. 
②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示. 
10．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【命题意图】
本题考察三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，难度：较难
【答案】C
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，  
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
【知识链接】
函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤如下:

11．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察再立体几何中，先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解，难度：较难
【答案】C
连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，
在中，，
则由余弦定理可得，故，
所以，则，不妨记，
因为，所以，
即，
则，整理得①，
又在中，，即，则②，两式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
【知识链接】
1、简单多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形



底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于
一点
侧面
形状
　平行四边形　 
　三角形　 
　梯形　 
2、正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;
(3)a∶b∶c=　sin A∶sin B∶sin C　; 
(4)a sin B=b sin A，b sin C=c sin B,
A sin C=c sin A
cos A= b2+c2-a22bc　; 
cos B= c2+a2-b22ac　; 
cos C= a2+b2-c22ab 
3、三角形的面积公式
S=12aha=12bhb=12chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高);
S=12absin C=12acsin B=12bcsin A;
S=12(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径);
S=abc4R(R为△ABC外接圆的半径);
S=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=12(a+b+c).
12．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察椭圆的定义，用余弦定理求出，结合中线的向量公式以及数量积即可求出，难度：一般
【答案】B
因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
【知识链接】
1、椭圆的标准方程和几何性质

标准
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形


性质
范围
-a≤x≤a;-b≤y≤b
-b≤x≤b;-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
坐标
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a; 
短轴B1B2的长为2b　 
焦距
|F1F2|=2c　 
离心率
e=ca∈(0,1)
a,b,c
的关系
　a2=b2+c2　 
2、与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.
在以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0((焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos θ;
(3)S△PF1F2=12|PF1||PF2|·sin θ=c|y0|=b2tanθ2,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取得最大值,最大值为bc;
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
3、中线的向量公式：若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=12(OA+OB).
二、填空题
13．若为偶函数，则________．
【命题意图】
本题考察函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性，难度：容易
【答案】2
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
【知识链接】
1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　f(-x)=f(x)　,那么函数f(x)就叫作偶函数 
关于y轴
对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　f(-x)=-f(x)　,那么函数f(x)就叫作奇函数 
关于原点
对称

2、函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，
奇×奇=偶　，偶+偶=偶　，偶×偶=偶　，奇×偶=奇　. 
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.
14．若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．
【命题意图】
本题考察线性规划“截距”型问题，由约束条件作出可行域，求目标函数最值，难度：容易
【答案】15
【详解】作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即,
所以.故答案为：15．

【知识链接】
1、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用的几何意义：,为直线的纵截距.
①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；
②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距离”型：或
或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
15．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
【命题意图】
本题考察根据正方体的棱切球，球心到各棱距离相等，难度：一般
【答案】12
【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，
即，则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：12
【知识链接】
正方体的内切球、外接球、棱切球：













16．在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【命题意图】
本题考察利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出，难度：一般
【答案】
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【知识链接】
正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;
(3)a∶b∶c=　sin A∶sin B∶sin C　; 
(4)a sin B=b sin A，b sin C=c sin B,
A sin C=c sin A
cos A= b2+c2-a22bc　; 
cos B= c2+a2-b22ac　; 
cos C= a2+b2-c22ab 


三、解答题
17．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【命题意图】
（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．难度：一般
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
【知识链接】
1、数列{an}的an与Sn的关系
（1）数列{an}的前n项和:Sn=a1+a2+…+an.
（2）an=　S1,n=1　,　Sn-Sn-1,n≥2　.
2、已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式;
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
3、求数列的前n项和的方法
（1）公式法
①公差为d的等差数列{an}的前n项和公式Sn=n(a1+an)2=　na1+n(n-1)2d　. 
②公比为q的等比数列{an}的前n项和公式
当q=1时,Sn=na1；当q≠1时,Sn= a1(1-qn)1−q　= a1-anq1−q　. 
（2）倒序相加法
如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.
（3）错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.
（4）裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
（5）分组求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.
（6）并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
18．如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
【命题意图】
（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 难度：较难
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图，
底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
平面到平面的距离为1，，
在中，，
设，则，为直角三角形，且，
，，，
，解得，，

（2），，
过B作，交于D，则为中点，
由直线与距离为2，所以
，，，在，，
延长，使，连接，
由知四边形为平行四边形，
，平面，又平面，
则在中，，，
在中，，，
,又到平面距离也为1，
所以与平面所成角的正弦值为.
【知识链接】
一、直线与平面垂直
1.定义:如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直,那么直线l与平面α垂直. 
2.判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线　都垂直,则该直线与此平面垂直 

a,b⊂α,a⋂b=O,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α

垂直于同一个平面的两条直线　平行　 

a⊥α,b⊥α⇒a∥b
3.距离
(1)过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离. 
(2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离. 
(3)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点　到另一个平面的距离都相等,我们把它叫作这两个平行平面间的距离. 
二、直线和平面所成的角
1.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角. 
2.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. 
3.范围:0,π2.
三、二面角的有关概念
1.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角. 
2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作　垂直于棱　的两条射线,则这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. 
3.范围:[0,π].
四、平面与平面垂直
1.定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 
2.判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言

一个平面过另一个平面的　垂线　,则这两个平面垂直 

l⊥α,l⊂β⇒α⊥β

两个平面垂直,则一个平面内垂直于　交线　的直线与另一个平面垂直 

α⊥β,l⊂β,α⋂β=a,l⊥a⇒l⊥α


　　1.垂直间的三种转化关系

2.直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1
32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2
19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：



对照组


实验组


（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
【命题意图】
（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
难度：一般
【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；列联表见解析，（ii）能

【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：








故.
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为，后续依次为，
故第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：



合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【知识链接】
一、超几何分布
1.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)= CMkCN-Mn-kCNn　,k=m,m+1,m+2,…,r. 
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
2.超几何分布的期望
设随机变量X服从超几何分布,则E(X)= nMN　. 
3.解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆;
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
二、独立性检验
1.列联表(2×2列联表)
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},这种形式的数据统计表称为2×2列联表.
　　Y
X　　
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d

2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
χ2的计算公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d为样本容量.
2.独立性检验
基于小概率值α的检验规则:
当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
当χ20)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形




顶点
　O(0,0)　 
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半径(其P(x0,y0))
|PF|=
x0+p2
|PF|=
-x0+p2
|PF|=
y0+p2
|PF|=
-y0+p2


如图,设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2.
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(5)1|AF|+1|BF|=2p.

1.求解直线与抛物线的问题时,一般利用方程法,但当涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则可用弦长公式.
21．已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【命题意图】
（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
难度：偏难
【答案】(1)答案见解析.(2)
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以..
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【知识链接】

　　1.求复合函数的导数的步骤

2.求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁.
一、函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y=f(x)
在区间(a,b)
上可导
f'(x)>0
f(x)在(a,b)内　单调递增　 
f'(x)