2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）

这是一份2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科），共37页。试卷主要包含了题型与分值分布，题目难度和复杂度，知识点覆盖详细情况说明，高考试卷命题探究，高考复习建议等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）
适用省份
四川、广西、贵州、西藏

2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、题型与分值分布
题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、题目难度和复杂度
难度级别
具体试题
总分值
整体评价
★☆☆☆☆
第1题、第2题、
第4题、第13题、
第15题
25分
整体试卷难度偏易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右
★★☆☆☆
第3题、第5题、
第6题、第14题、
第17题、第22题、
第23题
42分
★★★☆☆
第7题、第8题、
第9题、第10题、
第18题、第19题
44分
★★★★☆
第11题、第20题、第21题
29分
★★★★★
第12题、第16题
10分
三、知识点覆盖详细情况说明
知识点
题型
题目数量
总分值
整体评价
集合
单选题1个
1
5分



主干知识考查全面，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
复数
单选题1个
1
5分
平面向量
单选题1个
1
5分
程序框图
单选题1个
1
5分
数列
单选题1个
填空题1个
2
10分
三角函数
单选题1个
解答题1个
2
17分
概率与统计
单选题1个
解答题1个
2
17分
立体几何
单选题1个
填空题1个
解答题1个
3
22分
圆锥曲线
单选题2个
解答题1个
3
22分
函数与导数
单选题2个
填空题1个
解答题1个
4
27分
极坐标与参数方程
选做题1个
1
10分
不等式
填空题1个
（线性规划问题）
选做题1个
2
15分

四、高考试卷命题探究
2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
一是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。如第4题，取材于学校文艺活动，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，全面发展。
二是设置科学研究情境。科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。如第19题，研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，将小白鼠随机分配到试验组和对照组，利用成对数据制成列联表，进行独立性检验。


五、高考复习建议
高考数学复习应突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，在日常试题训练中应合理控制难度，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。针对高三新一轮的复习，主要有以下几点建议。
一是突出基础性要求。高考数学试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，实现对基础知识的全方位覆盖。同时，在解答题部分深入考查基础，集中体现在考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和融会贯通的应用。如第5题，全面考查等差数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力。如第13题，全面考查等比数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力。
二是彰显综合性要求。如第14题，是函数、三角函数的综合题，深入考查函数的奇偶性、三角函数的奇偶性，可通过函数、三角函数奇偶性的定义求解。
三是体现创新性要求。如第12题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交点的个数，展示函数图象在解决问题过程中的重要作用。
2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严格依据高中课程标准，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强关键能力考查，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革。





题号
分值
题型
考查内容
考查点
1
5
单选题
集合
有限集合中，求补集，求并集
2
5
单选题
复数
复数的四则运算
3
5
单选题
平面向量
平面向量坐标运算，向量的加、减法、数量积的坐标运算，求向量的夹角
4
5
单选题
概率
古典概率的概率公式，组合问题
5
5
单选题
等差数列
等差数列的通项公式，前n项和公式
6
5
单选题
算法与程序框图
程序框图模拟运行
7
5
单选题
圆锥曲线
椭圆的焦点三角形面积公式
8
5
单选题
导函数
导数的切线问题
9
5
单选题
圆锥曲线
双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长
10
5
单选题
立体几何
证明平面找高，分割体积法求体积
11
5
单选题
函数
指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差法比较自变量的大小
12
5
单选题
三角函数与函数
三角函数平移的性质，画图，判断三角函数与一次函数交点数量
13
5
填空题
等比数列
等比数列的前n项和公式，通项公式
14
5
填空题
函数与三角函数
函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性
15
5
填空题
线性规划
线性规划“截距”型最值问题
16
5
填空题
立体几何
正方体的外接球、球的内接正方形
17
12
解答题
三角函数
（1）余弦定理；
（2）面积公式以及恒等变换.
18
12
解答题
立体几何
（1）线面、面面垂直问题
（2）体积问题
19
12
解答题
概率与统计
（1）直接根据均值定义求解；
（2）（i）列联表；
（ii）独立性检验的卡方计算进行检验
20
12
解答题
函数与导数
（1）判断单调性；
（2）隐零点问题
21
12
解答题
圆锥曲线
（1）求抛物线方程
（2）直线与抛物线相交，最值问题.
22
10
选做题
极坐标与参数方程
（1）直线参数方程的几何意义；
（2）直角坐标方程与极坐标方程的转化.
23
10
选做题
不等式
（1）解含参的绝对值不等式，分类讨论
（2）将绝对值函数写成分段函数，画草图，根据面积列式，求参.




1、 强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。
2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，不断巩固阶段性复习成果。
3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接。
4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的。不论题型、题量、难度如何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概念分析解决问题是一切的基础，是能做对所有送分的基础题的基础，是能着手分析难题的基础，也是未来学习大学的专业知识和高等知识的基础。
5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的。现在的难题几乎根本不会出现非常套路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新。就算有旧题型，往往也都是简单的题目，不需要什么特殊的方法也能做出来。

2023年高考全国甲卷数学（文）真题
一、单选题
1．设全集，集合，则（     ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以
【知识链接】
1、集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图等；
2、集合的类型：有限集、无限集；
3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；
4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系及Venn图．
2．（     ）
A． B．1 C． D．
【命题意图】
本题考察复数的四则运算，难度：容易
【答案】C
【详解】
【知识链接】
复数的四则运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
z1z2 = a+bic+di = (a+bi)(c-di)(c+di)(c-di) = ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0).
3．已知向量，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察平面向量坐标运算，向量的加、减法、数量积的坐标运算，求向量的夹角，难度：较易
【答案】B
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
【知识链接】
1、平面向量的坐标运算
设，，则，
，. 
2、平面向量的数量积
（1）定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫作与的数量积(或内积),记作，即.规定零向量与任一向量的数量积为,即
（2）向量的夹角

①定义:已知两个非零向量和，如右图,作OA=，OB=，则∠AOB=(0°≤≤180°)叫作与的夹角,记作.
②当θ=0°时，与　同向　; 当θ=180°时，与　反向　; 当θ=90°时，与　垂直
3、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量，，为向量与的夹角,则
(1) ；
(2)
4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察古典概率的概率公式，组合问题，难度：容易
【答案】D
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
【知识链接】
1、古典概型
具有以下特征的试验叫作古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; 
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 
2、古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn=n(A)n(Ω). 
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3、概率的性质
性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　P(A)+P(B)　. 
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=　1-P(B)　. 
性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
4、排列与组合
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照　一定的顺序　排成一列,叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列 
组合
作为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示. 
②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示. 
5．记为等差数列的前项和．若，则（    ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【命题意图】
本题考察等差数列的通项公式，前n项和公式，难度：较易
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,又，
解得：，所以．
【知识链接】
等差数列的基本问题
1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d. 
2.通项公式:如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
推导方法(累加法):an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.
3.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A=a+b2.
4.前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)2d= (a1+an)n2.推导方法:倒序相加法. 
5.用函数观点认识等差数列:(1)an=dn+(a1-d)(类似于一次函数);(2)Sn=d2n2+a1-d2n(类似于常数项为零的二次函数).
6．执行下边的程序框图，则输出的（    ）

A．21 B．34 C．55 D．89
【命题意图】
本题考察程序框图模拟运行，难度：较易
【答案】B
【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
【知识链接】
1、程序框图基本概念：
程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
2、构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。


输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。


处理框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。


判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构
7．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【命题意图】
本题考察椭圆的焦点三角形面积公式，求出的面积，难度：一般
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
【知识链接】
1、椭圆的标准方程和几何性质

标准
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形


性质
范围
-a≤x≤a;-b≤y≤b
-b≤x≤b;-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
坐标
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a; 
短轴B1B2的长为2b　 
焦距
|F1F2|=2c　 
离心率
e=ca∈(0,1)
a,b,c
的关系
　a2=b2+c2　 
2、与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.
在以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0((焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos θ;
(3)S△PF1F2=12|PF1||PF2|·sin θ=c|y0|=b2tanθ2,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取得最大值,最大值为bc;
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
3、中线的向量公式：若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=12(OA+OB).
8．曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察导数的切线问题，难度：一般
【答案】C
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，所以，所以所以
所以曲线在点处的切线方程为.
【知识链接】
求解过曲线外某点处的切线问题的步骤
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1)).
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1).
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1.
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)·(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.
9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长，难度：一般
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
【知识链接】
1、圆的定义和圆的方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:(a,b),半径:r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
即x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F>0)
圆心:-D2,-E2,
半径:12D2+E2-4F
2、直线被圆截得的弦长
弦心距d,弦长l的一半12l及圆的半径r构成一直角三角形,且有r2=d2+12l2.
3、双曲线的标准方程和几何性质

标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:　坐标轴　,对称中心:　原点　 
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
,e∈　(1,+∞)　,其中c= a2+b2
轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　2a　;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　2b　.a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 
a,b,c
的关系
c2=　a2+b2　(c>a>0,c>b>0) 
10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（     ）
A．1 B． C．2 D．3
【命题意图】
本题考察证明平面找高，分割体积法求体积，难度：一般
【答案】A
【详解】取中点，连接，如图，

是边长为2的等边三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以
【知识链接】
一、直线与平面垂直
1.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,那么直线l与平面α垂直. 
2.判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 

a,b⊂α,a⋂b=O,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α

垂直于同一个平面的两条直线平行　 

a⊥α,b⊥α⇒a∥b
二、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V= 13S底h 
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上S下)h
球
S=　4πR2　 
V= 43πR3 
11．已知函数．记，则（    ）
A． B． C． D．
【命题意图】
本题考察指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差法比较自变量的大小，难度：较难
【答案】A
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，因为，而，
即，所以，
综上，，又为增函数，故，即.
【知识链接】
1、比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2、指数函数的图象与性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
a>1
00)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形




顶点
　O(0,0)　 
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半径(其P(x0,y0))
|PF|=
x0+p2
|PF|=
-x0+p2
|PF|=
y0+p2
|PF|=
-y0+p2


如图,设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2.
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(5)1|AF|+1|BF|=2p.

1.求解直线与抛物线的问题时,一般利用方程法,但当涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则可用弦长公式.
22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．
(1)求；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．
【命题意图】
（1）根据的几何意义即可解出；
（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
难度：较易
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
（2）由（1）可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由可得直线的极坐标方程为．
【知识链接】
1．坐标系：　
① 理解坐标系的作用.　
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。


5．极坐标与直角坐标的互化：




6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆的参数方程可表示为.
椭圆的参数方程可表示为.
抛物线的参数方程可表示为.
　 经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
23．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【命题意图】
（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
难度：较易
【答案】(1) (2)
【详解】（1）若,则,即,解得,即,
若,则,解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与坐标轴围成与
的高为,所以
所以,解得

【知识链接】
1、不等式的基本性质
①（对称性）
②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性）
（异向可减性）
④（可积性）

⑤（同向正数可乘性）
（异向正数可除性）
⑥（平方法则）
⑦（开方法则）
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
①,（当且仅当时取号）. 变形公式：
②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
④
（当且仅当时取到等号）.
⑤
（当且仅当时取到等号）.
⑥（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
⑦，（其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式
①平均不等式：，，当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式：
当且仅当时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：
设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.

本套试卷的浅析：
本套试卷的难度整体偏易，多以主干知识直接命题，学生平时学习基本功扎实即可，知识点全面覆盖了考试范围，高中数学的十个大单元都有涉及，其中考试大纲强调的重点知识、核心知识，三角函数、立体几何、圆锥曲线、函数与导数分值达到了17分以上。
本套试卷的复杂度整体偏易，要求学生综合2-3个知识点即可，对学生的创新思维有所涉及，解决问题的能力有所涉及，更加注重记忆和应用知识；在答题过程中需要注重灵活应用解题技巧和解题策略。
本套试卷整体质量高、公平，不存在错误和不合理的地方，不存在歧视性和偏见。