浙江省杭州市余杭区云城天元公学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

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2022-2023学年浙江省杭州市余杭区云城天元公学八年级（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
3. 下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算．二次根式的加减，实质是合并同类二次根式；二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除．
【详解】解：、，故错误；
、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故正确；
、，故错误；
、，故错误．
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的化简和二次根式的运算．注意二次根式的性质：．
4. 有20位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前10位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这20位同学成绩的（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前10名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【详解】解：由于总共有20个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前10名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的多少．
故选：C．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）
A. 测量两组对边是否分别相等
B. 测量两条对角线是否互相垂直平分
C. 测量其中三个内角是作都为直角
D. 测量两条对角线是否相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，
、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；
、根据矩形判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
6. 一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°可得，从而得到，继而得到边边数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：外角和，
∵，
∴，
∵，
∴该多边形为六边形．
故选：D
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的综合问题，熟练掌握多边形的内角和与外角和定理是解题的关键．
7. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设（ ）
A. 三角形的二个内角小于 B. 三角形的三个内角都小于
C. 三角形的二个内角大于 D. 三角形的三个内角都大于
【答案】B
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选B．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
8. 电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一天为3亿元，根据增长率为x得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据三天累计为10亿元，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（ ）

A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理判断即可．
【详解】解：∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意，
而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10. 若关于的一元二次方程（且）与关于的一元一次方程有一个公共解，且方程只有一个解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由是方程和的一个公共解，可得出是方程的一个解，根据根与系数的关系即可得出，整理后即可得出结论．
【详解】解：∵关于的一元二次方程与关于的一元一次方程有一个公共解，
∴是方程的一个解，
∵方程只有一个解，
∴，
整理得：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴且，
∴且；
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式要有意义被开方数大于等于0，分式要有意义分母不为0是解题的关键．
12. 若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．
【答案】1.5
【解析】
【详解】试题分析：众数是这组数据出现次数最多的数，由此判断x为1，这组数据的平均数是(1+2+1+4)÷4=2,所以方差为，=1.5，
故这组数据的方差为1.5．
【点睛】考点：方差计算.

13. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算，求代数式的值，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则．
14. 四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为____．
【答案】6或10##10或6
【解析】
【分析】可分：当E点在线段BC和当E点在线段BC延长线上时两种情况，分别由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，进而可求解BE的长，即可求得BC的长．
【详解】解：当E点在线段BC上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
当E点在线段BC延长线上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
综上，BC的长为10或6．
故答案为：6或10．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识点，证明BE＝AB及分类讨论是解答本题的关键．
15. 如图，矩形中，，，连接对角线，为的中点，为直线上的一个动点，连接，作点关于的对称点，连接、，若与的重叠部分面积等于的，则______．

【答案】或
【解析】
【分析】分点F在上和外两种情形计算，如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于只要证明四边形是平行四边形即可解决问题，同理可证明．
【详解】解：分点F在上和外两种情况，
如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于．

与的重叠部分面积等于的，
，
，于，于，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
同理可证，当点F在外时， ；

综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8小题，共70．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】a＜2且a≠1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1≠0且Δ=（-2）2-4（a-1）>0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）>0，
解得a0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ>0，方程没有实数根．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘法，再算加法即可；
（2）把根式分母有理化，再算乘法，最后算加减即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】



．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用公式法求解比较简便；
（2）利用因式分解法求解比较简便
【小问1详解】
解：，
这里，，，
∴，
∴，
∴，．
【小问2详解】
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键．
19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图，图中各画一个四边形所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上

（1）在图中画以，，，为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于；
（2）在图中画以，，，为顶点的平行四边形，且面积为．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）取格点、，连接、、即可；
（2）取格点、，连接、、、即可．
【小问1详解】
解：如图中，取格点、，连接、、，
∵每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形即为所作；
【小问2详解】
如图中，取格点、，连接、、、，
∵每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上，
∴，，
，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为：，
∴四边形即为所作．

【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，正方形的面积等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD面积．

【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠E，可证AD∥BE，可得结论；
（2）先证△ABE是等边三角形，可求S△ABF的面积，即可求解
【详解】（1）证明：∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝=＝，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×＝，
∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键．
21. 某山区中学280名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．

回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了_________名学生的植树量；请将条形图补充完整；
（2）被调查学生每人植树量的众数是________棵，中位数是_______棵；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这280名学生共植树多少棵？
【答案】（1）20，补全统计图见解析；（2）4、4；（3）1204棵
【解析】
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本平均数，再乘以总人数即可．
【详解】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%=20（人），
D类人数=20×10%=2（人）．

故答案为：20；
（2）众数是4，中位数是4，
故答案为：4、4；
（3） =4.3（棵），
43×280=1204（棵）．
答：估计这280名学生共植树1204棵．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测第，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可或利润（元）
甲
65-x
______
15
乙
x
x
______
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？
（3）根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元．要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应如何安排工人进行生产？
【答案】（1）2（65-x），120-2x；（2）2650；（3）10人生产甲产品，35人生产乙产品，20人生产丙产品．
【解析】
【分析】（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120-2x）元，每天可生产2（65-x）件甲产品，此问得解；
（2）由总利润=每件产品的利润×生产数量结合每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（3）设该企业安排m人生产甲产品，则安排2m人生产丙产品，安排（65-3m）人生产乙产品，根据总利润=每件产品利润×生产数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120-2x）元，每天可生产2（65-x）件甲产品．
故答案为2（65-x）；120-2x．
（2）依题意，得：15×2（65-x）-（120-2x）•x=650，
整理，得：x2-75x+650=0
解得：x1=10，x2=65（不合题意，舍去），
∴15×2（65-x）+（120-2x）•x=2650．
答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．
（3）设该企业安排m人生产甲产品，则安排2m人生产丙产品，安排（65-3m）人生产乙产品，
依题意，得：15×2m+30×2m+[120-2（65-3m）]（65-3m）=2650，
整理，得：3m2-85m+550=0，
解得：m1=10，x2=（不合题意，舍去），
∴2m=20，65-3m=35．
答：该企业应安排10人生产甲产品，35人生产乙产品，20人生产丙产品．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天生产甲产品的数量及每件乙产品的利润；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23. 如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结．

（1）如图1，点在线段上，求证：．
（2）如图2，当，，三点共线时，连结，求证：四边形是菱形．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据菱形的对称性可得PC＝AP，又△APE是等边三角形，AP＝PE，即得PC＝PE；
（2）连接AC，证明△CAP≌△DAE（SAS），得CP＝DE，∠CPA＝∠DEA＝120°，可得∠APE＝∠PED＝60°，AP∥DE，而由菱形的对称性可得CP＝AP，即知AP＝DE，可得四边形APDE是菱形；
（3）分两种情况：当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F，由∠CPE＝90°，∠APE＝60°，得∠APC＝150°，知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，可得△APF是等腰直角三角形，设AF＝PF＝m，勾股定理求得，当P在BD延长线上时，连接AC交BD于O，同理可得
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，点P在线段BD上，
∴由菱形的对称性可得PC＝AP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝PE，
∴PC＝PE；
【小问2详解】
证明：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，△ADC是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴∠CAD＝60°＝∠PAE，
∴∠CAP＝∠DAE，
在△CAP和△DAE中，
，
∴△CAP≌△DAE（SAS），
∴CP＝DE，∠CPA＝∠DEA＝180°−∠APE＝120°，
∴∠PED＝∠DEA−∠AEP＝60°，
∴∠APE＝∠PED＝60°，
∴AP∥DE，
∵四边形ABCD是菱形，点P在线段BD上，
∴由菱形的对称性可得CP＝AP，
∴AP＝DE，
∴四边形APDE是平行四边形，
∵AP＝AE，
∴四边形APDE是菱形；
【小问3详解】
解：当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F，如图甲所示：
∵∠CPE＝90°，∠APE＝60°，
∴∠APC＝150°，
由菱形ABCD的对称性可知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠PAB＝∠APD−∠ABP＝45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
设AF＝PF＝m，则AP＝m，
在Rt△BPF中，BF＝PF＝m，
∴AB＝BF＋AF＝m＋m，
∴，
当P在BD延长线上时，连接AC交BD于O，如图乙所示：
∵∠CPE＝90°，∠APE＝60°，
∴∠CPA＝30°，
由菱形ABCD的对称性可知∠APD＝∠CPD＝∠CPA＝15°，
∵∠ADB＝∠ADC＝30°，
∴∠DAP＝∠ADB−∠APD＝15°，
∴∠DAP＝∠APD，
∴PD＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，
设OA＝n，则AB＝AD＝PD＝2n，
∴OD＝＝n，
∴OP＝OD＋PD＝n＋2n，
在Rt△AOP中，，
∴，
综上所述，的值为或．

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及菱形的性质，全等三角形性质与判定，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握菱形的性质及分类讨论思想的应用．