浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

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2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A、原式，故A不符合题意，
B、是最简二次根式，故B符合题意，
C、原式，故C不符合题意，
D、原式，故D 不符合题意，
故选：B；
【点睛】本题考查最简二次根式的定义：不含开得尽方的数，分母不含根号的根式叫最简二次根式．
2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此进行判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
D. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结，则他只需测量（　　）

A. 长 B. 长 C. 长 D. 长
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点D、E分别是，的中点，
∴，
∴要测量B、C两地的距离，只需测量的长；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形的中位线是解题的关键．
4. 在▱ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数为（ ）
A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠A=∠C=80°，即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∵∠A＋∠C＝160°，
∴∠A=∠C=80°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=100°．

故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
5. 2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A. 平均数大，方差大 B. 平均数大，方差小
C. 平均数小，方差小 D. 平均数小，方差大
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．
故选：B．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6. 若点、、都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
7. 用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A. 每一个角是锐角 B. 每一个角都是钝角或直角
C. 至多有一个角是锐角 D. 至多有一个角是钝角或直角
【答案】C
【解析】
【分析】根据反证法可直接进行求解．
【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有两个角是锐角”时，首先应该假设这个三角形中至多有一个角是锐角；
故选C．
【点睛】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程有一个根是1，则下列说法不一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义对A选项进行判断；根据一元二次方程解的定义对B选项进行判断；利用特殊值法对C选项进行判断；根据根的判别式的意义对D选项进行判断．
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
∴，所以A选项不符合题意；
把代入方程得，所以B选项不符合题意；
∵c可以为0，而，
∴不一定正确，所以C选项符合题意；
∵一元二次方程有根，
∴，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
9. 如图，小明利用不等臂天平及若干砝码称小球质量（杠杆原理：杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．当小球放于左盘时，右盘砝码重m克；当小球放于右盘时，左盘砝码为n克，则小球的质量为（　　）

A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
【答案】B
【解析】
【分析】根据“杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂”，列出等式求解即可．
【详解】解：小球的质量为x克，由题意得，
由图1得，
∴，
由图2得，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质、算术平方根的应用，根据“杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂”，列出等式是解答本题的关键．
10. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A. 正方形纸片的面积 B. 矩形纸片的面积
C. 四边形的面积 D. 四边形的面积
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形纸片的边长为a，长方形纸片的长为b，宽为c；根据题意得出，则四边形是正方形，再将阴影部分面积表示出来，最后分别将各个选项面积表示出来，即可判断．
【详解】解：设正方形纸片的边长为a，长方形纸片的长为b，宽为c；
由图可知：，，
∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴，整理得：，
∴，
∴，则四边形是正方形，


，
A、正方形纸片的面积，根据题意可以求出，故A符合题意；
B、矩形纸片的面积，根据题意不能求出，故B不符合题意；
C、四边形的面积，根据题意不能求出，故C不符合题意；
D、四边形的面积，根据题意不能求出，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要主要考查了整与图形的结合，解题的关键是熟练掌握各个图形的面积公式，能正确用字母表示出来．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数为非负数列不等式从而可得答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据根判别式等于零列式求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
14. 某公司招聘职员，根据实际需要，从学历，经验，能力和态度四个方面进行考核，应聘者甲的这四项得分依次为8分，9分，7分，9分（每项满分10分）．公司将学历，经验，能力，态度四项得分按的比例确定最终得分，则甲的最终得分是 _____．
【答案】分
【解析】
【分析】用各项的得分乘以各项得分所占比例，再相加即可．
【详解】解：甲的最终得分（分），
故答案为：分．
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，解题的关键是掌握求一组数据加权平均数的方法．
15. 如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为 _____．

【答案】2
【解析】
【分析】连接交于点O，连接、、，根据翻折的性质可得垂直且平分，再根据垂直平分线的性质可得，证明，可得点O使矩形的中心，即，从而可得当点G落在直线上时，点D与点G重合，即可求出结果．
【详解】解：连接交于点O，连接、、，
∵四边形是矩形，
∴，且，
∵点G和点A关于对称，
∴垂直且平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点O是矩形的中心，
∴，
∴，
∴当点G落在直线上时，点D与点G重合，
∴，，
∵,
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16. 如图，经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴，将四边形的面积分成7：5的两部分，则的面积为 _____，k的值为 _____．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先根据题意设出，，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成7：5的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值．
【详解】∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，
∴设，，
∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵将四边形面积分成7：5的两部分，
∴，即，
∴解得，
如图所示，延长，交于点E，

∴，
∴，
∴解得．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，解题的关键在于添加常用辅助线，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行求解；
（2）根据二次根式的混合运算可进行求解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式

．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
，．
【点睛】本题主要考查了用因式分解法和公式法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用因式分解法和公式法求解一元二次方程的方法和步骤．
19. 图1，图2都是由小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

（1）在图1中画出以为对角线的菱形，C，D均在格点上．
（2）在图2中画出以为边的平行四边形，E，F均在格点上，并使其面积最大．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形与菱形的性质可进行作图；
（2）根据等边三角形的性质及平行四边形的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：所作菱形如图所示：
【小问2详解】
解：由图可知的长是固定的，要使所作平行四边形的面积为最大，则需满足该平行四边形边上的高为最大即可，如图所示：
【点睛】本题主要考查等边三角形、菱形及平行四边形的性质，熟练掌握各个性质是解题的关键．
20. 当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表：
n（）
1.5
2
2.5
3
4
M（）
400
300
240
200
150

（1）以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结．
（2）能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取值范围）；如果不能，请说明理由．
（3）某个使用场景需要此款发动机输出扭矩不低于，但不超过，求此场景中该发动机转数n的取值范围．
【答案】（1）见详解 （2）能，M关于n的函数表达式为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行画出函数图象；
（2）由（1）可知M和n符合反比例函数关系，则设M关于n的函数表达式为，然后问题可求解；
（3）根据题意及结合函数图象可直接进行求解．
【小问1详解】
解：由题意可得如下函数图象：
【小问2详解】
解：由（1）可设M关于n的函数表达式为，则把点代入得：
，
∴M关于n的函数表达式为；
【小问3详解】
解：由题意可得：
当时，则有，解得：；
当时，则有，解得：；
∴n的取值范围为．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
21. 为对比甲，乙两个城市的气温特点，小明上网查取了两者2022年各月份的平均气温数据，并将其绘制成如下的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：


平均数
中位数
众数
方差
甲
19
19
8，33

乙
26
a
b
c

（1）直接写出a，b的值；
（2）甲和乙哪个城市全年的气温更稳定，请通过计算说明理由；
（3）根据以上数据，请你运用所学统计学知识，任选两个角度对比甲和乙的气温特点．
【答案】（1），
（2）乙城市全年的气温更稳定，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a和b的值；
（2）先计算乙的方差，再对比甲和乙的方差即可根据方差的意义得出结论；
（3）根据平均数、方差、中位数即可得出结论．
【小问1详解】
∵乙城市2022年各月气温从小到大排列为：21，21，22，25，26，26，27，28，28，28，30，30，
∴乙的中位数是： ，
∵28出现了3次，出现的次数最多，
∴乙的众数：；
【小问2详解】
乙城市全年的气温更稳定，
理由：乙的方差为：


，
∵，即乙的方差小于甲的方差，
∴乙城市全年的气温比甲城市更稳定；
【小问3详解】
①由题（2）知：从方差的角度分析，甲城市全年气温温差波动较大，乙城市全年的气温比较稳定；
②从平均数的角度分析，甲城市的气温低一些，乙城市的气温稍高些，较温暖．
【点睛】本题考查折线统计图，涉及到平均数、方差、众数、中位数，熟练掌握并利用方差、众数、中位数的定义是解题的关键．
22. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】（1）该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为
（2）下调后每辆汽车的售价为21万元
【解析】
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．
【小问2详解】
解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：

解得：，
∵尽量让利于顾客，
∴；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
23. 【基础巩固】
（1）如图1，P是矩形内部一点，求证：；请你将下面的证明过程补充完整．

证明：过P分别作边，的平行线，交于E，交于F，交于G，交于H．设，，，．
（请在框内证明：四边形是矩形）
同理可证四边形，四边形，四边形均是矩形
∴　　（用关于a，b，c，d的代数式填空）
【尝试应用】
（2）如图2，P为正方形ABCD内一点，且，求的大小．

【拓展提高】
（3）如图3，在中，，点D，E是斜边上的三等分点．若，，求的长．

【答案】（1）证明过程见详解，；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意及矩形的判定、勾股定理可进行求解；
（2）把绕点B逆时针旋转得到，连接，，然后根据（1）中的结论可知，则有，然后可证，，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解；
（3）过点B、C分别作、的平行线，交于一点G，连接，由题意易得四边形是矩形，然后可证，则，同理可得，进而根据（1）中结论可进行求解．
【详解】证明：过P分别作边，的平行线，交于E，交于F，交于G，交于H．如图1所示，设，，，．
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
同理可证四边形，四边形，四边形均是矩形，
∴，，
∴由勾股定理可得：，
∴；
（2）解：连接，把绕点B逆时针旋转得到，连接，，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
由可设，
由（1）可知：，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B、C分别作、的平行线，交于一点G，连接，如图所示：

∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点D，E是斜边上的三等分点，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．
24. 如图，在菱形中，，．将菱形绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到菱形，与，分别交于点I，J，与交于点H，与交于点K，连接．

（1）用含的代数式表示；
（2）求证：平分；
（3）在从到的变化过程中，
①的周长是否变化？若不变，请求出的周长；若变化，请说明理由．
②直接写出点K的运动路径长．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）①不变，的周长为，②
【解析】
【分析】（1）设与交于点H，由旋转可知，再根据三角形的外角定理即可；
（2）过点A作于点M，于点N，证明，由角平分线的判定定理即可得出结论；
（3）①旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线，得到再证明，得到即可；，②当时有最大值，当时有最小值， 即可得出结果．
【小问1详解】



解：设与交于点H，
由旋转可知，
再根据三角形的外角定理得：，
；
【小问2详解】
解：过点A作于点M，于点N，

，
由旋转可知，，
，
，
平分；
【小问3详解】
解：①不变，的周长为，理由如下：
连接，

根据菱形为轴对称图形，菱形对角线所在的直线为菱形的对称轴，
旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线，

由第（2）问中平分，
，
在菱形中，，，
和均为等边三角形，
，
，
，
的周长为；
②当时有最大值，；
当时有最小值，；
．
故点K的运动路径长为．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，综合运用旋转图形的性质、全等三角形的性质和判定是本题的关键．