专题54 事件的相互独立性-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

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专题54 事件的相互独立性
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
3．事件间的独立性关系
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
P(A)P(B)
A，B都不发生

P()P()
A，B恰有一个发生
(A )∪(B)
P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生
(A )∪(B)∪(AB)
P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
(A )∪(B)∪( )
P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
题型一 相互独立事件的判断
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．
解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽得J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
解析：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
3．判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
解析：　(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)．故事件A与B相互独立．
当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
4．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)
A．互斥事件　　　　　　 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立的事件
解析：选D.因为P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件．
5．掷一枚骰子一次，记A表示事件“出现偶数点”，B表示事件“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件 D．既不互斥又不相互独立事件
解析：因为该试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×＝P(A)P(B)，所以A与B是相互独立事件．
题型二 相互独立事件同时发生的概率
1．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P( )＝________．
解析：因为P(A)＝，P(B)＝.所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P(A)P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.
2．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________．
解析：由题意可得解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
3．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析：∵A，B是相互独立事件，∴，B和A，均相互独立．
∵P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，∴P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，
∴0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.
4．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，
则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
5．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是 ．
解析：由题意知P＝×＋×＝.
6．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　)
A．0.2　　　　B．0.8　　　　C．0.4　　　　D．0.3
解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5＝0.3.
7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

8．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B. C. D.
解析：选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F中至少有一个不闭合的事件为R，
则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝.
9．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，
所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
10．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次为事件(BC)∪(AC)∪(AB)，
故其概率P＝××＋××＋××＝.
11．甲、乙、丙三位学生用计算机学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为(　　)
A. B.
C. D．以上都不对
解析：利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率
为××＋××＋××＝.
12．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
解析：用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P()＝P()P()P()＝××＝.∴此密码被破译的概率为1－＝.
13．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．

解析：设“开关a，b，c闭合”分别为事件A，B，C，
则灯亮这一事件为ABC∪AB∪A C，且A，B，C相互独立，
ABC，AB，A C相互独立，ABC，AB，A C互斥，
所以P＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
14．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)

A. B. C. D.
解析：选C.记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P()[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮的概率为1－＝.
15．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
解析：设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A、B、C，
则A、B、C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P( )＝1－P()·P()·P()
＝1－××＝1－＝.
16．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B. C. D.
解析：由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．设P(A)＝x，P(B)＝y，
则即∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝.
17．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立．
求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率．
解析：记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A，B，C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P( )＝1－××＝.
18．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，
且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，
故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
19．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
解析：(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，
设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B ∪C，
则P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.
20．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解析：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通电话可表示为 A3，于是所求概率为P(A3)＝××＝.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋ A2＋A3，
于是所求概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋×＋××＝.
21．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解析：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立．
∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
题型三 相互独立事件的综合应用
1．如图所示，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
解析：解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
2．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于 ．
解析：　由 “第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，
∴第k次恰好打开房门的概率为××…××＝.
3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率．
解析：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A∪B；“至少有1人击中目标”是AB∪A∪B.
(1)“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立．
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()×P()·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.
(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.64＋0.32＝0.96.
4．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
解析：因为A和B相互独立，所以A与，和B也相互独立．
所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
故事件A和事件B同时发生的概率为.
5．甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)至多有1个人译出密码的概率；
(4)恰有1个人译出密码的概率；
(5)至少有1个人译出密码的概率．
解析：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，
且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为P()＝P()·P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.
(3)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，
所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(4)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.
(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，
所以至少有1个人译出密码的概率为1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.
6．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率．
解析：设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，
依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.
P()＝P(12)＋P(1A212)＋P(A112)
＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)
＝2＋××2＋×2＝.
∴P(C)＝1－＝.
7.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
解析：(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝6)＝×＋×＝.
8．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解析：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，
且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，
P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解析：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，
故P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.