2023洛阳强基联盟高一下学期5月联考数学试题含解析

洛阳强基联盟5月联考

高一数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教版必修第二册第六章~第十章10.1.3。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数z 满足(1+i)z=2(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于

A.第一象限             B.第二象限             C.第三象限            D.第四象限

2. 在某中学高一年级的300名学生中，男生有120名，女生有180名.学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中按性别用分层随机抽样的方法选取60人，则应抽取的女生人数为

A.24                  B.36              C.40               D.48

3. 如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分别为棱BC 和棱CC₁的中点,则异面直线AC和EF 所成的角为

A.30°                               

B.45°

C.60°

D.90°

4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表.

则这50名学生的借书数量的第25 百分位数是

A.5                   B.5.5                 C.6                  D.6.5

5. 在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,若PA⊥平面ABC,PA=4,则点P到BC 的距离是

A.5                    B.4               C.3                D.

6. 设l，m是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是

A.若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m                  B.若l∥m,m⊥β,l⊥α,则α∥β

C.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l⊥m                   D.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l∥m

7. 紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称.建筑师在高度接近200米的峰顶测得一建筑物顶部的仰角为30°，底部的俯角为45°，那么该建筑的高度接近

 米                            B.200(1+   )米

 米                          米

8. 已知e₁,e₂是单位向量,且e₁,e₂的夹角为θ,若  则θ的取值范围为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且  若△ABC有唯一解，则a的值可以是

A.1                                                      D. 

10. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A一结伴步行，B一自行乘车，C一家人接送，D一其他方式.并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是

A.扇形统计图中D的占比最小                      B.条形统计图中A和C一样高

C.无法计算扇形统计图中A的占比                   D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送

11. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是

A.“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件

B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

D.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件

12. 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,PA=AB=1,E,F为

线段PD 上的点(不包括端点)，则

A. AC⊥EF

B. PB∥平面AEC

C.二面角E-BD-C的大小为定值

D. AE+CE 的最小值为   

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在△ABC中,    若 则λ=               .

14. 某厂有A，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如下表：

则20个产品组成的总样本的方差为               .

15. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为         .

16. 已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=BC=4，若球O上的点到平面ABC 的最大距离为4,则球O的体积为            .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)

已知向量=(1,3), =(-2,1).

(1)求·;

(2)若向量+与-k互相垂直,求k的值.

18. (本小题满分12分)

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且 

(1)求A;

(2)若a=2,且△ABC的面积为  ,求b,c.

19. (本小题满分12分)

学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩(单位：分)如下表所示.

(1)如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀?

(2)如果以20%，60%，20%依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何?

20. (本小题满分12分)

如图，△ECD所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直， F为ED的中点.

(1)求证:AF∥平面EBC;

(2)求证:BD⊥平面EBC.

21. (本小题满分12分)

《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期.某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长(单位：分钟)，根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：

(1)求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；

(2)市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会.办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60，70)和[70，80)的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60，70)中至少有1人被抽中发言的概率.

22. (本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,△ABD为等边三角形,BC=CD=1,∠ABC=90°,M是PB上一点,且PB=3MB,N是PC的中点.

(1)求证:PC⊥BD;

(2)若二面角P-BC-A 的大小为45°,求三棱锥C-AMN的体积.

洛阳强基联盟5月联考·高一数学

参考答案、提示及评分细则

1. D  因为(1+i)z=2,所以 所以在复平面内复数z对应的点为(1，-1)，位于第四象限.故选D.

2.  B    由题意得，男、女生的比例为120：180=2：3，故用分层随机抽样的方法选取60人，则应抽取的女生人数为 60=36.故选B.

3.  C   连接BC₁,A₁C₁,A₁B,如图所示:根据正方体的结构特征,可得EF∥BC₁,AC∥A₁C₁,则∠A₁C₁B即为异面直线AC和EF所成的角,BC₁=A₁C₁=A₁B,所以△A₁C₁B为等边三角形,故∠A₁C₁B=60°.故选C.

4.  C    由50×25%=12.5,故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人,又5+8=13,故第25百分位数是6. 故选C.

5.  A    如图,取BC中点D,连接PD,AD.∵AB=AC,∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.

CB⊥平面PAD,∴PD⊥BC.在△ACD中,AC=5,CD=4,∴AD=3.在Rt△PAD中,PA=4,AD=3, 故选A.

6.  B    由于l,m是不同的直线,α,β是不同的平面,若l∥α,m∥β,α∥β,则l与m 的位置关系不定,故A错误;若l∥m,m⊥β,l⊥α,则α与β平行,故B正确;若α   ⊥β,l∥α,m∥β,则l与m的位置关系不定,故C,D错误.故选B.

7.  A 作出示意图,过点A作AE⊥CD,其中AB=200,∠CAE=30°,∠DAE=45°,可得DE =AB=200,在直角△ADE中,因为DE=200,∠DAE=45°,则AE=200,在直角△ACE 中,因为AE=200,∠CAE=30°,可得     则DC=DE   米，所以建筑的高度接近 米.故选A.

8. D 又θ∈[0,π], 所以

故选D.

9. CD    因为△ABC有唯一解,所以 或a≥b=2.故选CD.

10.  ABD    由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生占60%，所以   解得x=30，故条形图中A，C一样高；扇形图中A类占比与C一样都为25%，A和C共占50%，故D也正确.扇形统计图中D的占比最小，A正确.故选ABD.

11.  BD 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能的结果有：两个红球，一个红球一个黑球，两个黑球.对于A，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；对于C，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故C错误；对于D，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故D正确.故选BD.

12. CD    对于A,∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC,假如AC⊥EF,又PA∩EF=P,∴AC⊥平面PAD,又AD⊂平面PAD,∴AC⊥AD,而四边形ABCD为正方形,与AC⊥AD矛盾,故AC⊥EF不正确,故A不正确;

对于B,设AC∩BD=O,连接OE,若PB∥平面AEC,又平面PBD∩平面AEC=OE,则PB ∥OE，在△PBD中，因为O为BD的中点，则E必为PD的中点，这与E为线段PD上的动点矛盾，故B不正确；

对于C，∵E为线段PD上的动点，∴二面角E-BD-C的大小即为二面角P-BD-C的大小，故二面角E-BD-C的大小为定值，故C正确；

对于D，如图，将侧面△PAD和△PCD展开在一个平面内，连接AC，当E处在AC与PD 的交点处时,AE+CE取得最小值,此时,在△ACD中,由余弦定理,得AC²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠ADC=1+1-2×1×1×cos135°=2+             ,故AE+CE的最小值为 故D正确.故选CD.

13.    因为在△ABC中.    所以 即

１４． ２５   依题意得，总样本平均数 [1+ ( 200-204)²]}=25.

15.     这5名棋手分别记为:甲,乙,A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共含有10个样本点.设事件E表示“甲和乙分在不同小组”，则n(E)=6，所以甲和乙分在不同小组的概率为    

16. 36π因为△ABC是等腰直角三角形且AB=BC=4,所以AB⊥BC且   如图，过AC的中点M作平面ABC的垂线MN，则球心O在直线MN上.

设OM=h，球的半径为R，不妨设点D是球O上的一点，则球O上的点D到平面ABC的最大距离为R+h.所以R+h=4.由勾股定理得     OA²=OM²+CM²,      即   得  R²=( 4-R)²+8，解得R=3.所以球O的体积为     

17. 解:(1)由a=(1,3),b=(-2,1),

∴a·b=1×(-2)+3×1=-2+3=1………………………………………………………………………………………4分

(2)若向量a+b与a-kb互相垂直,

则(a+b)·(a-kb)=a²-kb²+(1-k)a·b=10-5k+1-k=0,           ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

所以    ……………………………………………………………………………………………………10分

18. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理及     得

又sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,    代入上式，

得 ………………………………………………………………………………3分

    ………………………………………………………………………………………6分

(2)由(1)知    又a=2,

∴由余弦定理得    4=b²+c²-2bccos A,      即 b²+c²-bc=4,      ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

又∵△ABC的面积为         ,

∴有  即  

∴bc=4,②

解由①②组成的方程组得b=2,c=2         ……………………………………………………………………12分

19. 解:(1)甲的平均分:   (分).

乙的平均分：  (分).

甲的平均分较高,甲被评为优秀……………………………………………………………………………6分

(2)甲的平均分:98×20%+96×60%+95×20%=96.2(分).

乙的平均分:90×20%+99×60%+98×20%=97(分).

乙的平均分较高,乙被评为优秀………………………………………………………………………12分

20. 证明:(1)如图,取EC 的中点G,连FG,BG,

∵F为ED的中点,G为EC的中点,           

  …………………………………………………2分

又  …………………………………………………………3分

∴四边形ABGF为平行四边形,

∴AF∥BG……………………………………………………………………………………4分

又AF⊄平面EBC,BG⊂平面EBC,∴AF∥平面EBC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分

(2)如图,在等腰梯形ABCD中,取CD的中点T,连AT,BT.

∴四边形ABTD为平行四边形…………………………………6分

又AB=AD,∴四边形ABTD为菱形,∴AT⊥BD.

同理,四边形ABCT 为菱形,∴AT∥BC………………………………………………………………………8分

∵AT⊥BD,∴BC⊥BD………………………………………………………………………………………………9分

∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,CE⊥CD,CE⊂平面ECD,

∴CE⊥平面ABCD………………………………………………………………………………………………10分

又BD⊂平面ABCD,∴CE⊥BD………………………………………………………………………………………11分

∵BC⊥BD,BC∩CE=C,BC,CE⊂平面EBC,∴BD⊥平面EBC.……………………………………………………12分

21. 解:(1)由频率分布直方图得(0.005+0.010+0.020+m+0.025+0.010)×10=1,解得m=0.03,…………………2分

[40,70)的频率为:(0.005+0.010+0.020)×10=0.35,

[70,80)的频率为:0.03×10=0.3,

所以被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数为    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

(2)由频率分布直方图知,学习时长在[60,70)和[70,80)的频率之比为2:3,

5人中,学习时长在[60,70)的有2人,学习时长在[70,80)的有3人,

记学习时长在[60,70)的2人分别为a,b,学习时长在[70,80]的3人分别为A,B,C,

样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)},共含有10个样本点,……8分

设事件E为“从这5人中抽取2人发言，且这2人中至少有一人学习时长在[60，70)中”，

则E={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)},共7个样本点,………………………………………10分

由古典概型的概率计算公式得     ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

22. (1)证明:因为△ABD为正三角形,所以AB=AD,又BC=CD,所以AC⊥BD.……………………………………………2分又PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.………………………………………………………………3分

AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.………………………5分

(2)解:因为PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,

所以PA⊥BC,又已知AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB平面PAB,

所以BC⊥平面PAB,PB平面PAB,所以BC⊥PB,

所以∠PBA即为二面角P-BC-A 的平面角.

因二面角P-BC-A的大小为45°,所以∠PBA=45°.………………………………………………6分

又△ABD为等边三角形，

所以∠BAC=∠DAC=30°.

在Rt△ABC中, …………………………………………………………………………7分

因为PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD, 由题意,可证△ABC≌△ADC,

所以PA⊥AB.知  所以△PBC的面积     ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分

因为PB=3MB,所以  

又因为N为PC中点，所以  …………………………………………………………9分

设点A到平面PBC的距离为h，由   得  

解得  即点A到平面CMN的距离为