2023年7月浙江省金华市高二学考模拟数学试题（含解析）

2023年7月浙江省金华市高二学考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，那（    ）

A． B． C． D．

2．设，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．下列函数中，定义域为的是（    ）

A． B． C． D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（    ）

A． B． C． D．1

6．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）.

A．  B．  C．1 D．2

7．已知球O的体积为，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则的最大值是（    ）

A． B．6 C．2 D．

9．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

10．若：；：，则是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

11．如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为

A．3 B．4 C．5 D．6

12．如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，锐二面角的大小为.当增大时，（    ）

A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大

二、多选题

13．图象经过第三象限的函数是（    ）

A． B． C． D．

14．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，，则

15．在锐角中，有（    ）

A． B．

C． D．

16．函数的图象可能是（      ）

A． B．

C． D．

三、双空题

17．若，，则________；_______.

四、填空题

18．棱长都是厘米的三棱锥的体积是_________.

19．已知，，且，则的最小值为______.

20．已知向量，向量满足，则的最小值为______．

五、解答题

21．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.

22．已知函数．

（1）求的值；

（2）若角是锐角的一个内角，且，求的值．

23．已知函数， 其中为常数，且.

(1)若是奇函数， 求a的值；

(2)证明：在上有唯一的零点；

(3)设在上的零点为，证明：.

参考答案：

1．A

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】由于，

所以.

故选：A

2．C

【分析】先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部

【详解】因为，

所以，

所以的虚部为，

故选：C

3．B

【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数的定义域为；

对于B选项，函数的定义域为；

对于C选项，函数的定义域为；

对于D选项，函数的定义域为.

故选：B.

4．A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】解：当时，，

而当时，或，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

5．B

【分析】列举出所有可能的结果，利用古典概型计算概率即可.

【详解】根据题意，闭合两个开关所有的可能为，

其中能形成闭合电路的为，

所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．

故选：B．

6．B

【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果

【详解】因为向量，，

所以，

因为()∥，，

所以，解得，

故选：B

7．D

【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.

【详解】设球的体积为，则由题可得，解得，

则该球的表面积为.

故选：D.

8．C

【分析】由利用均值不等式可得答案.

【详解】由有

当且仅当时，取等号.

所以，即,所以

所以

故选：C

【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，考查指数的运算，属于基础题.

9．D

【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.

【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；

分析可知：

函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.

故选：D

10．B

【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.

【详解】由不能推出，例如，

但必有，

所以：是：的必要不充分条件.

故选：B.

11．B

【详解】分析：根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．

详解：∵D为AB的中点，∴

∵

∴

∴O是CD的中点，

∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC，

故选B．

点睛：本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．

12．C

【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解.

【详解】由题意，三棱锥 是正四面体，以 的重心为原点，BC边的中线PG为x轴，

OA为z轴，过O点平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图：

设三棱锥P-ABC的棱长为 ，则有：  ，

， ，

，

设 是平面ABD的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，解得 ，

显然 是平面PBC的一个法向量，

；

显然当时（x的取值范围是 ）， 最大，

当 或 时， 都变大，即 变小；

故选：B.

13．BD

【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.

【详解】由幂函数的图象可知，

A中，过第一、二象限；

B中，过第一、三象限；

C中，且定义域为R，过第一、二象限；

D中，过第一、三象限.

故选：BD

14．ACD

【分析】垂直于同一平面的两条直线平行，A正确；当时结论未必成立，B错误；证明CD正确，得到答案.

【详解】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；

对选项B：当时结论未必成立，错误；

对选项C：，故，又，故，正确；

对选项D：，，则或，排除，则，正确.

故选：ACD.

15．ABC

【分析】根据正弦定理可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式可判断C；取特殊值可判断D.

【详解】对于A，根据正弦定理，因为可得，故A正确；

对于B，因为可得，再由正弦定理可得，故B正确；

对于C，因为中，所以，所以，故C正确；

对于D，当，故D错误

故选：ABC.

16．BCD

【解析】由奇偶性定义可知为偶函数，分别在、和三种情况下得到大致图象，由此确定选项.

【详解】，为偶函数，

当时，，此时图象与相符；

当时，若，则，此时单调递增，

由偶函数性质可知：在上单调递减，图象与相符；

当时，若，则（当且仅当，即时取等号），

即在上存在最小值，又当时，，

由偶函数性质可得的图象，知图象与相符.

故选：.

17．     2     1

【分析】利用换底公式得，，，从而有，再利用对数的加法运算求值.

【详解】由换底公式得，，.

所以，.

故答案为：2；1.

18．/

【分析】求出棱锥的高后由体积公式计算结论．

【详解】如图正四面体中棱长为4，是棱锥的高，是底面的中心，是中点，

，，

（）．

故答案为：．

19．

【解析】先变形：，再根据基本不等式求最值.

【详解】

当且仅当时取等号

即的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

20．

【分析】根据向量数量积公式可得，再结合基本不等式即可求出的最小值．

【详解】由向量数量积公式可得：

，

由基本不等式可得：，当仅当时等号成立，

所以，即，

所以，所以的最小值为．

故答案为：

【点睛】思路点睛：向量恒等式，及是常用等式，要学会合理利用这两个式子解题．

21．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；

（3）根据题意确定抽样比，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得.

（2）解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，

这次测试成绩的平均数为 （分）.

（3）解：测试成绩位于的频率，

位于的频率，

因为，所以确定的5人中成绩在内的有3人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，

从5人中随机抽取2人的样本空间：共有10个样本点，

其中，即，

所以概率为.

22．（1）1；（2）

【分析】（1）先根据两角和的三角公式、二倍角公式化简函数的解析式，再求的值；（2）先根据得到，再得到，最后将化成，根据两角差的余弦公式求解即可．

【详解】解：（1）由题意知

，

．

（2），

，

．

【点睛】本题主要考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、特殊角的三角函数值等知识，考查考生的运算求解能力．在求解本题第（2）问时要注意条件“锐角”的运用，若注意不到这点，则会得到，从而多解．

23．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）是奇函数，由恒成立，求a的值；

（2）在上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；

（3）把零点代入函数解析式，有，由零点所在区间得，化简变形可得结论.

【详解】（1）由题意， ， 恒成立，

即，

化简得 ， 解得.

（2）由题意， ，

∵，  ∴和在上都是连续增函数，

∴在上是连续增函数，                   

又， ，

所以，由零点存在定理可知在上有唯一的零点.

（3）由可知 ， 即，

由（2）可知 ，

∴，

，即，所以.

【点睛】思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.