福建省泉州第十六中学2019-2020学年高一5月月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com泉州第十六中学2020年春季线上教学摸底测试

高一数学

考试时间：120分钟满分：150分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据两角差的余弦公式计算，即可得答案；

【详解】，

故选：C.

【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意展开的右边是加号.

2.在中，若，，，则角的大小为（    ）

A.  B. 或 C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出，再根据角的范围，即可得解.

【详解】在中，由正弦定理,得，

即，解得，

又因为，且，

所以或，

故选：B.

【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，熟记正弦定理即可，属于基础题.

3.若复数满足(i为虚数单位），则复数在复平面内对应点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C．

4.已知定义在复数集上的函数满足，则（    ）

A.  B. 0 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

先求内层函数的值，再根据的值所在定义域计算出的值即可.

【详解】根据题意，，

，

故选：D.

【点睛】本题考查了分段函数和复数的简单计算，根据自变量所处的范围准确选择函数解析式是本题的解题关键，属于基础题.

5.如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先画出圆锥的侧面展开图如图所示，再求线段BC的长度，即得点经圆锥侧面到点的最短距离.

【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，

由题得圆锥底面圆的半径为，

所以,

所以,所以BC=.

故答案为A

【点睛】(1)本题主要考查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考察学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.

6.一直线与其外三点，，可确定的平面个数是（    ）

A. 1个 B. 3个 C. 1个或3个 D. 1个或3个或4个

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面的基本性质及其推论即可得出结果.

【详解】当，，三点共线时，只能确定一个平面；

当，，三点不共线时，且其中两点连线与已知直线平行，这样的平面有3个；

当，，三点不共线时，且任意两点连线与已知直线不平行，则一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，平面外的三个点也可以确定一个平面，这样可确定的平面最多就可以达到4个.

综上，直线与其外三点，，可确定的平面个数是1个或3个或4个.

故选：D.

【点睛】本题主要考查平面的基本性质及其推论，熟练掌握平面的基本性质及其推论是解题的关键，属于基础题.

7.是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.

【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，

画对应的轴，轴，使，如下图所示，

结合图形，的面积为，

作，垂足为，

则，，

所以的面积，

即原图和直观图面积之间的关系为，

所以，的面积为.

故选：A.

【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积关系，属于基础题.

8.过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

取对角线顶点所不在的两个侧棱的中点M,N,与对角线两个顶点相连，所得四边形即为所有过对角线的截面中面积最小的，由此可求出截面面积.

【详解】如图：

在正方体中，取的中点,连接,

过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，

,

故选D.

【点睛】本题主要考查了正方体的截面面积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.

9.已知向量，满足：，，，且，则最小值为　　

A.  B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知，把看作，根据坐标系，和向量的坐标运算，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出．

【详解】

解：由题意可知，把看作，

，，

则可表示为，点B在直线上，

设，，

，，

，，

，

则的最小值可转化为在直线

取一点B，使得最小，

作点C关于的对称点，

则最小值即可求出，

设，

由，解得，，

则，

故的最小值为．

故选A．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．

10.如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

把正四面体补成正方体，在正方体内利用截面为平行四边形，有，进而利用基本不等式即可得解.

【详解】因为四面体为正四面体，

所以，如图所示，补全四面体为正方体，

设截面分别交面，面，面，面于，，，，

连接，，，，

根据正方体的性质，则四边形为平行四边形，

且，，

由，两式相加可得

，

因为，所以，

所以，，当且仅当时取等号，

所以，该多边形截面面积最大值为1.

故选：A.

【点睛】本题考查了平面的基本性质及推论，其中涉及到基本不等式的应用，用了割补法，属于中档题.

二、不定项选择题（本大题共2小题，共10.0分）

11.下列命题错误的是（    ）

A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形

【答案】ABD

【解析】

【分析】

直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.

【详解】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；

对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；

对于D，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.

综上，ABD错误.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.

12.下列说法中错误的为

A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C. 若，则在方向上的正射影的数量为

D. 三个不共线的向量，，，满足，则是的内心

【答案】AC

【解析】

分析】

对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；

对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；

对于C，利用向量投影的定义即可判断；

对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.

【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，

可得，且与不共线，，

即有，且，

解得且，则实数的取值范围是且，

故A不正确；

对于B，向量，，，

，

向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；

对于C，若，则在上的投影为，故C错误；

对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，

由，可知垂直于角的外角平分线，

所以，点在角的平分线上，

同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，

故点是的内心，D正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.把一个底面半径为3cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm

【答案】3

【解析】

【分析】

根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.

【详解】圆柱体积：，球的体积：，所以，解得.

【点睛】圆柱的体积公式：；球的体积公式：.

14.函数在上减区间为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间.

【详解】 函数

根据正弦函数减区间可得:

,

解得:,

故函数的减区间为:

再由,可得函数的减区间为

故答案为:

【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.

15.如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则         ．

【答案】

【解析】

试题分析：所以，则；

考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；

16.下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点

②经过空间任意三点有且只有一个平面

③过两平行直线有且只有一个平面

④在空间两两相交的三条直线必共面

其中正确命题的序号是______ .

【答案】③

【解析】

【分析】

由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④.

【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；

②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误；

③过两平行直线有且只有一个平面，故正确；

④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误.

故正确命题的序号是③.

故答案为：③.

【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知平面向量，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求.

【答案】（1）的值为或；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于的方程，解此方程，即可得解；

（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出的值，进而得到，利用向量模的坐标运算即可得解.

【详解】（1），则，

即，

解得或.

所以，的值为或.

（2）若，则，

即，

解得或，

当时，，，

，，

当时，，，

，.

故或.

【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.

18.已知，（，为虚数单位），

（1）若复数为纯虚数，求的值；

（2）若，求.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据纯虚数的定义即可得解；

（2）求出和，代入，利用复数代数形式的乘除运算及复数模的计算公式进行求解.

【详解】解：（1）为纯虚数，则，

解得，

所以的值为0；

（2）当时，，，

，

所以.

【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.

19.某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：米）的半球体，下层是半径为米，高为米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设每座帐篷的建造费用为千元.

参考公式：球的体积，球的表面积，其中为球的半径.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.

【答案】（1），定义域为；（2）当半径为时，建造费用最小，最小为千元．

【解析】

【分析】

（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，即可求出函数的定义域

（2），，根据导函数求出其最小值即可．

【详解】解：（1）由题意可得，所以，

所以，即；

因为，，所以，则，所以定义域为，

故，定义域为；

（2）设，，则，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，取极小值也是最小值，且．

当半径为时，建造费用最小，

答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．

【点睛】本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．

20.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.

求证：（1）四点共面；

（2）三线共点.

【答案】（1）见证明 （2）见证明

【解析】

【分析】

（1）连接，结合平面几何知识可证得，于是可得结论成立．（2）由题意可得直线与必相交，设交点为，然后再证明点在平面与平面的交线上，进而得到结论成立．

【详解】证明：（1）连接.

∵分别是和的中点，

∴.

又，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴与确定一个平面，

∴四点共面．

（2）由（1）知，，且，

∴直线与必相交，设.

∵平面，，

∴平面.

又平面，，

∴平面，即是平面与平面的公共点，

又平面平面，

∴，

∴三线共点．

【点睛】（1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内．

（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此可得点共线．

21.已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的外接圆的半径的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换将原式化简，求得的值，再结合三角形的内角和，即可求出角的大小；

（2）利用正弦定理以及，求得，再借助三角恒等变换及三角函数的取值范围得到，从而，进而求得结果.

【详解】（1）由题意，，

得，

即，

又，，

所以，即，

所以.

（2）设的外接圆的半径为，

由正弦定理，

得.

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即，

所以的外接圆的半径的最小值为.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理以及三角函数的取值范围问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.

22.已知向量 ，函数 ，且图象上一个最高点为与最近的一个最低点的坐标为 .

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)设为常数，判断方程在区间上的解的个数；

（Ⅲ）在锐角中，若，求 的取值范围.

【答案】（1） （2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）先根据向量数量积得，再根据配角公式得.（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个数（3）先根据条件求出锐角B，再根据锐角三角形确定角A范围为，最后根据正弦函数性质确定 的取值范围.

试题解析：(Ⅰ) .  

图象上一个最高点为，与最近的一个最低点的坐标为,

，，于是.   所以.                   

(Ⅱ)当 时，，由图象可知：

当时，在区间上有二解；       

当或时，在区间上有一解；

当或时，在区间上无解.      

（Ⅲ）在锐角中，，.

又，故，.         在锐角中,

.      ,,    

      即的取值范围是

点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．