黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考（开学）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com鹤岗一中2018～2019学年度下学期开学考试

高一数学理科试题

一.选择题：（每小题5分，共60分）

1.的值为（    ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【详解】

故选：A.

2.下列关于向量知识的选项中，不正确的为　　

A.  B. 单位向量的模长都相等

C.  D. 在平行四边形ABCD中，

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的定义和简单运算规则求解.

【详解】解：A．，显然正确；

B.单位向量的模长都是1，即单位向量的模长都相等，正确；

C.当A，O，C三点不共线时，；当A，O，C三点共线且O在A，C两点之间时，；当A，O，C三点共线且O在A，C两点之外时；

正确；

D.在平行四边形ABCD中，AC，BD是对角线，，即不正确．

故选D．

【点睛】本题主要考查向量加法的几何意义，单位向量的概念，以及相等向量的概念．

3.下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据基底向量不能共线，即可容易判断

【详解】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；

对B：因为，故B中两个向量不共线；

对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；

对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.

故选：B.

【点睛】本题考查判断向量是否可作基底，属基础题.

4. 单调减区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式变形，然后求出的增区间，从而得答案．

【详解】，

由，得

．

函数的单调减区间是，．

故选A.

【点睛】本题考查复合三角函数的单调性的求法，复合三角函数的单调性，满足同增异减的原则，是基础题．

5.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由题意得，函数的周期为，只有C,D满足题意，

对于函数在上为增函数，

函数在上为减函数，故选D.

6.已知是锐角，，，且，则为（     ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量平行，结合倍角公式，即可容易求得

【详解】因为，，且//，

故可得，即可得,

又为锐角，则可得或，

解得或.

故选：D.

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示以及正弦的倍角公式，属综合基础题.

7.已知平面向量，且，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，，且，所以，，故选B.

考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.

8.如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

为 的中点， 而则

且 ，，则 故选C．

9.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由图观察出和后代入最高点，利用可得，进而得到解析式．

【详解】解：由图可知：，，，，

代入点，得，，，

，，

，

故选．

【点睛】本题考查了由的部分图象确定其表达式，属基础题．

10.函数的零点是和，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用韦达定理求得和的值，再利用两角和的正切公式求得的值.

【详解】因为函数的零点是和，

所以和是的两个实数根，

所以，，则，

故选C.

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及两角和的正切展开，着重考查了学生公式的应用，属于基础题.

11.若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，

结合三角函数的图象，即可求解．

【详解】令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

[0，]内，那么，

∴y的值域为[-1，2]．

那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，

结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

12.已知函数，，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的最大值为

A.  B. 8 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由知为函数对称中心，为函数对称轴，从而得到，要使f（x）在区间上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则包含的周期应该最多，所以得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．

【详解】由题意知，，，则，，，其中，

，故与同为奇数或同为偶数.

在上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以

当时，，为偶数，，此时，当或或时，都成立，舍去；

当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立.

【点睛】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．

二.填空题：（每小题5分，共20分）

13.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用，结合同角三角函数关系，即可容易求得.

【详解】因为，

故可得

.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用同角三角函数关系，求齐次式的值，属基础题.

14.函数的最小正周期为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简，由此求得函数的最小正周期.

【详解】，

所以周期为.

【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，还考查了三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.

15.已知，点在直线上，且，则点的坐标为________

【答案】，

【解析】

【分析】

设点,得出向量,代入坐标运算即得的坐标，得到关于的方程，从而可得结果.

【详解】设点,

因为点在直线,且,
,
或, ，
即或,
解得或;
即点的坐标是，.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.

16.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．

①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；

②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内两个零点，则sin（x1+x2）=______

【答案】    (1). [，]    (2).

【解析】

【分析】

①利用三角函数的公式化简，f（x）＝0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；

②x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解

【详解】f（x）＝2sin2x﹣2sin2x﹣a＝2sin2x﹣（1﹣cos2x）﹣a

＝2sin2x+cos2x﹣1﹣a1﹣a．其中tanθ

①f（x）＝0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）＝a+1有解，

∵

∴a+1．

则a的取值范围是[，]，

故答案为[，]

②∵x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，

那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．

由f（x）1﹣a．其中tanθ

其对称轴2x+θkπ，k∈Z．

x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．

又[0，]，且tanθ

∴对称轴x

∴x1+x2．

则sin（x1+x2）＝sin（）＝cosθ．

∵tanθ，即，

∴cosθ，

则sin（x1+x2）．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．

三.解答题：（17题10分，18—22题每题12分，共70分）

17.已知点A（–1，2），B（2，8）以及，=–13，求点C、D的坐标和的坐标．

【答案】C（38，80），D（–40，–76），=（–78，–156）．

【解析】

设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由题意得=（x1+1，y1–2），=（3，6），=（–1–x2，2–y2），=（–3，–6）．

因为，，

所以（x1+1，y1–2）=13（3，6），（–1–x2，2–y2）=–13（–3，–6）．

所以x1+1=39，y1–2=78，–1–x2=39，2–y2=78，

解得x1=38，y1=80，x2=–40，y2=–76，

所以点C、D的坐标分别是（38，80）、（–40，–76），

从而=（–40，–76）–（38，80）=（–78，–156）．

18.设两个非零向量与不共线，

（1）若，，，求证：三点共线；

（2）试确定实数，使和同向.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；

（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.

【详解】（1）证明：因为，，，

所以.

所以共线，

又因为它们有公共点，

所以三点共线.

（2）因为与同向，

所以存在实数，使，

即.

所以.

因为是不共线的两个非零向量，

所以

解得或

又因为，

所以.

【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.

19.已知角α的终边过点P（-1，2）．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（I），； （II）-1.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由终边上点的坐标，利用任意角的三角函数的定义，求得的值；（Ⅱ）利用诱导公式、同角三角函数的关系化简三角函数式化简，结合（1）即可得结果．

【详解】（Ⅰ）∵角的终边过点，∴，，，

∴，，．

（Ⅱ）=====．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.

20.设函数，.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，求函数的最值.

【答案】（1）（2）最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）利用正余弦的降幂扩角公式以及辅助角公式，即可化简函数为标准正弦型函数，即可求得其最小正周期；

（2）由（1）中所求，结合正弦函数的值域，即可容易求得.

【详解】（1）∵，.

，

∴.

（2）∵，∴，

∴，

∴函数，，

∴函数在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题考查利用辅助角公式和降幂扩角公式化简函数解析式，以及求正弦型函数的最小正周期以及最值，属综合中档题.

21.已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．

（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈（，）时，求函数g（x）的值域．

【答案】(1) 对称轴方程为得x=+，k∈Z，单调区间见解析;(2) 值域为（﹣，].

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到=，从而得到ω=1，f（x）=sin（2x+）+，令2x+=kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g（x）=sin（4x﹣）+，当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域.

【详解】（1）∵函数

sin2ωx+=sin（2ωx+）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，

∴ω=1，f（x）=sin（2x+）+．

令2x+=kπ+，求得x=+，

故函数f（x）的对称轴方程为得x=+，k∈Z．

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，

可得y=sin（2x﹣+）+=sin（2x﹣）+的图象；

再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到函数y=g（x）=sin（4x﹣）+的图象．

当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），

∴sin（4x﹣）∈（﹣1，1]，

故函数g（x）的值域为（﹣，]．

【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.

22.已知函数，.

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）若，，且函数在上是单调函数，求实数的值；

（3）若，若当时，总有，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用偶函数的定义解得m；

（2）由最高点的坐标，求得，再利用单调性得，求得的值．

（3）设函数的值域为，的值域为，由题意和子集的定义，得，得到不等式恒成立，两边分别分离参数m，得到m的范围.

【详解】解：（1）设，则

由于是偶函数，所以对任意，成立．

即 恒成立．

即 恒成立，

所以 ，解得 ．

所以所求实数的值是 ．

（2）由，

得，即

当时， ，

因为在区间的单调递增，所以，再由题设得

所以．

（3）设函数在上的值域为，在上的值域为，

由题意和子集的定义，得．

当时，，．

所以当时，不等式恒成立，

由恒成立，得，

由恒成立，得，

综上，实数的取值范围为 ．

【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，以及函数最值的求法，考查转化思想，属于中档题．