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福建省高考数学模拟试卷与解析(理科)
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这是一份福建省高考数学模拟试卷与解析(理科)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C． D．
2．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（ ）
A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0 C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．36
11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． +1 C． D．
12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．
15．以下命题正确的是：______．
①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；
②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；
③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；
（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．
（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．
20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．
21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
（Ⅰ）实数a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．
四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]
22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C． D．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．
【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），
可得z==2﹣xi．
若z的虚部为2，
可得x=﹣2．
z=2﹣2i．
∴|z|=2
故选：B．
2．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（ ）
A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0
C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
【考点】特称命题；命题的否定．
【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．
【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，
∴命题￢p：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，
故选：A
3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．
【解答】解：根据题意，得
当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，
∴1≤2x≤8，
∴0≤x≤3；
当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，
∴1≤x+1≤8，
∴0≤x≤7，
∴x的取值范围是[0，7]．
故选：D．
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．
法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．
【解答】解：法一、
∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∵2cos2α=sin（α﹣），
∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），
∴cosα+sinα=，①
∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，
（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，
∴cosα﹣sinα=，②
联立①②，解得cosα=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．
法二、
由2cos2α=sin（α﹣），
得2sin（）=sin（α﹣），
则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），
∴cos（α）=﹣，
∵α∈（，π），
∴∈（），
则sin（）=﹣，
则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．
故选：D．
5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．
【解答】解：画出约束条件表示的可行域
由⇒A（2，0）是最优解，
直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），
所以a=2，
故选D
6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴它的表面积为
S=S底+S侧
=××+（××2+×2×2+××）
=1+（+2+）
=3++．
故选：A．
7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】二项式系数的性质．
【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．
【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4
=（1﹣2x+x2）．
∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．
故选：B．
8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，
直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∵k＞0，
∴点B的坐标为（1，2），
∴k==．
故选：A．
9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．
【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；
当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．
画出函数f（x）的图象，如图：
令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．
由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，
可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．
故选：D．
10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．36
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．
【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．
过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．
∴OD===2．
∴VO﹣ABC===4．
故选A．
11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． +1 C． D．
【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．
【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．
【解答】解：取PF2的中点A，则=2
∵（）•=0，∴2•=0
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|=|PF2|，
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴c=|PF2|，
∴e===
故选B
12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；
偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），
∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，
∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，
∴﹣2016＜x＜﹣2012．
∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8= 9 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，
解得，．
∴q2=2或．
则a2+a8==9．
故答案为：9．
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则 10 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．
【解答】解： =（）=﹣•，
如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，
故答案为：10．
15．以下命题正确的是： ①③④ ．
①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；
②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；
③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．
②根据几何概型的概率公式进行判断．
③根据排列组合的计数原理进行判断．
④根据正态分布的概率关系进行判断．
【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，
②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，
因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；
③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，
若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，
则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，
故答案为：①③④
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，
∴b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
∵A∈（0，π），∴A=．
∴b2+c2=9+bc≥2bc，化为bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．
∴S△ABC==．
故最大值为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（ I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出{an}是等比数列，从而求通项公式；
（ II）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．
【解答】解：（ I）∵，①
当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，
当n≥2时，∵Sn﹣1=an﹣1﹣，②
①﹣②得：
an=an﹣an﹣1，
即：an=3an﹣1（n≥2），
又∵a1=1，a2=3，
∴对n∈N*都成立，
故{an}是等比数列，
∴．
（ II）∵，
∴=3（﹣），
∴，
∴，
即Tn=．
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；
（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】（本小题满分12分）
解：（I）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），
f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，
∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，
估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人． …
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，
，
，
，
．…
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望．…
19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．
（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；
（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，
∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，
∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C
∴CC1⊥面ABC
∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．
∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．
以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．
∴=（1，2，﹣），，
∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，
∴
∴AB1⊥A1D．
（Ⅱ）=（1，0，﹣），
设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．
∴，令z=1，得．
∴cos＜＞===﹣．
∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．
20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．
（Ⅱ） 当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8
所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a=4，c=2，，
所以E的轨迹方程是． …
（Ⅱ） 当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，
当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…
，，
所以DE===，…
设直线l2的方程为，
所以，
所以，…
设t=k2+1，所以t＞1，所以，
因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…
21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
（Ⅰ）实数a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；
（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．
【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
∴f'（1）=1﹣a=2
∴a=﹣1
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，
构造函数的最小值小于零．
…
①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…
由可得，
因为，所以； …
②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2； …
③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，
最小值为h（1+m），
因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，
h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2
此时，h（1+m）＜0不成立．
综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…
四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]
22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．
【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．
（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，
所以B、D、F、H四点共圆．…
（2）解：因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，
解得AD=4，…
所以BD=，BF=BD=1，
又△AFB∽△ADH，
则，得DH=，…
连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，
BH=，
故△BDF的外接圆半径为．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；
（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．
（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．
而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，
故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，
（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．
∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，
∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到
1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，
故答案为[，]．
福建省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C． D．
2．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（ ）
A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0 C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．36
11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． +1 C． D．
12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．
15．以下命题正确的是：______．
①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；
②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；
③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；
（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．
（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．
20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．
21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
（Ⅰ）实数a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．
四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]
22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
福建省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（ ）
A．2 B．2 C． D．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．
【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），
可得z==2﹣xi．
若z的虚部为2，
可得x=﹣2．
z=2﹣2i．
∴|z|=2
故选：B．
2．已知命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（ ）
A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，ex﹣x﹣1＞0
C．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，ex﹣x﹣1＞0
【考点】特称命题；命题的否定．
【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．
【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，ex﹣x﹣1≤0”，
∴命题￢p：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，
故选：A
3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．[0，2） B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．
【解答】解：根据题意，得
当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，
∴1≤2x≤8，
∴0≤x≤3；
当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，
∴1≤x+1≤8，
∴0≤x≤7，
∴x的取值范围是[0，7]．
故选：D．
4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．1 D．
【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．
法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．
【解答】解：法一、
∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∵2cos2α=sin（α﹣），
∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），
∴cosα+sinα=，①
∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，
（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，
∴cosα﹣sinα=，②
联立①②，解得cosα=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．
法二、
由2cos2α=sin（α﹣），
得2sin（）=sin（α﹣），
则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），
∴cos（α）=﹣，
∵α∈（，π），
∴∈（），
则sin（）=﹣，
则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．
故选：D．
5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．
【解答】解：画出约束条件表示的可行域
由⇒A（2，0）是最优解，
直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），
所以a=2，
故选D
6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．3++ B．6+2+2 C．3+2 D．2++
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴它的表面积为
S=S底+S侧
=××+（××2+×2×2+××）
=1+（+2+）
=3++．
故选：A．
7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】二项式系数的性质．
【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．
【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4
=（1﹣2x+x2）．
∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．
故选：B．
8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，
直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∵k＞0，
∴点B的坐标为（1，2），
∴k==．
故选：A．
9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．
【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；
当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．
画出函数f（x）的图象，如图：
令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．
由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，
可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．
故选：D．
10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．4 B．12 C．18 D．36
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．
【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．
过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．
∴OD===2．
∴VO﹣ABC===4．
故选A．
11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． +1 C． D．
【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．
【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．
【解答】解：取PF2的中点A，则=2
∵（）•=0，∴2•=0
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|=|PF2|，
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴c=|PF2|，
∴e===
故选B
12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2016，﹣2012） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；
偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），
∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，
∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，
∴﹣2016＜x＜﹣2012．
∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8= 9 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，
解得，．
∴q2=2或．
则a2+a8==9．
故答案为：9．
14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则 10 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．
【解答】解： =（）=﹣•，
如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，
故答案为：10．
15．以下命题正确的是： ①③④ ．
①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；
②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；
③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．
②根据几何概型的概率公式进行判断．
③根据排列组合的计数原理进行判断．
④根据正态分布的概率关系进行判断．
【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，
②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，
因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；
③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，
④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，
若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，
则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，
故答案为：①③④
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，
∴b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
∵A∈（0，π），∴A=．
∴b2+c2=9+bc≥2bc，化为bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．
∴S△ABC==．
故最大值为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设anbn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（ I）分n=1与n≥2讨论，从而判断出{an}是等比数列，从而求通项公式；
（ II）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．
【解答】解：（ I）∵，①
当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，
当n≥2时，∵Sn﹣1=an﹣1﹣，②
①﹣②得：
an=an﹣an﹣1，
即：an=3an﹣1（n≥2），
又∵a1=1，a2=3，
∴对n∈N*都成立，
故{an}是等比数列，
∴．
（ II）∵，
∴=3（﹣），
∴，
∴，
即Tn=．
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；
（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】（本小题满分12分）
解：（I）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），
f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，
∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，
估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人． …
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，
，
，
，
．…
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望．…
19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．
（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；
（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；
（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，
∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，
∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C
∴CC1⊥面ABC
∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．
∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．
以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．
∴=（1，2，﹣），，
∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，
∴
∴AB1⊥A1D．
（Ⅱ）=（1，0，﹣），
设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．
∴，令z=1，得．
∴cos＜＞===﹣．
∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．
20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．
（Ⅱ） 当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8
所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a=4，c=2，，
所以E的轨迹方程是． …
（Ⅱ） 当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，
当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…
，，
所以DE===，…
设直线l2的方程为，
所以，
所以，…
设t=k2+1，所以t＞1，所以，
因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…
21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
（Ⅰ）实数a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；
（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．
【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．
∴f'（1）=1﹣a=2
∴a=﹣1
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，
构造函数的最小值小于零．
…
①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…
由可得，
因为，所以； …
②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2； …
③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，
最小值为h（1+m），
因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，
h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2
此时，h（1+m）＜0不成立．
综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…
四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]
22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．
【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．
（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，
所以B、D、F、H四点共圆．…
（2）解：因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，
解得AD=4，…
所以BD=，BF=BD=1，
又△AFB∽△ADH，
则，得DH=，…
连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，
BH=，
故△BDF的外接圆半径为．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；
（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．
（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．
而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，
故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，
（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．
∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，
∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到
1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，
故答案为[，]．
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