福建省高考数学模拟试卷与解析(文科)

这是一份福建省高考数学模拟试卷与解析(文科)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|y=}，集合N={y|y=sinx}，则M∩N=（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．∅
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（　　）
A．15 B．10 C．9 D．7
3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），函数f（x）=（+）•（﹣），则f（x）的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
5．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）
A．﹣1或1 B．或 C． D．
6．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（﹣α）=（　　）
A．﹣ B．﹣7 C． D．7
7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=63，则输入a的值可以是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
11．已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（　　）
A． B．64π C．100π D．
12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（　　）
A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x+2y的取值范围是______．
14．若关于x的方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是______．
15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线C的右支上存在一点P满足|PF1|=3|PF2|，且•=﹣a2，则双曲线C的离心率为______．
16．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2•a6=a3•a7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．
18．某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，如表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A户型
0.7
1.3
1.1
1.4
1.1
0.9
0.8
0.8
1.3
0.9
B户型
1.2
1.6
2.3
1.8
1.4
2.1
1.4
1.2
1.7
1.3
（Ⅰ）根据如表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是线段PC的中点， =．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离．

20．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），动点M满足|AM|=4，线段MB的垂直平分线与线段AM相交于点N，设点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与曲线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ（其中O为坐标原点），试问：是否存在定圆x2+y2=r2（r＞0），使得该圆恒与直线l相切？说明理由．
21．已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．
　
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
　
福建省高考数学模拟试卷（文科）试题解析　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|y=}，集合N={y|y=sinx}，则M∩N=（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=，得到x﹣x2≥0，即x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即M=[0，1]，
由N中y=sinx，得到﹣1≤y≤1，即N=[﹣1，1]，
则M∩N=[0，1]，
故选：C．
　
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（　　）
A．15 B．10 C．9 D．7
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=5+（n﹣1）30=30n﹣25，由751≤30n﹣25≤981求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为an=5+（n﹣1）30=30n﹣25．
落人区间[751，960]的人做问卷C，
由 751≤30n﹣25≤960，
即776≤30n≤985
解得25≤n≤32．
再由n为正整数可得26≤n≤32，
∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7，
故选：D．
　
3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、2，高为3，
∴几何体的体积V==2，
故选：A．
　
4．已知向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），函数f（x）=（+）•（﹣），则f（x）的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和化简，再根据周期的定义即可求出．
【解答】解：∵向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），
∴f（x）=（+）•（﹣）=﹣=sin2（x+φ）+4﹣1﹣cos2（x+φ）=3﹣cos2（x+φ），
∴T==π，
故选：C．
　
5．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）
A．﹣1或1 B．或 C． D．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得： =2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．
【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1=a+=a+=a+1+i对应的点位于第二象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．
命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，∴=2，解得a=±．
若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．
故选：D．
　
6．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（﹣α）=（　　）
A．﹣ B．﹣7 C． D．7
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（﹣α）的值．
【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（，π），∴sinα==，∴tanα==﹣，
则tan（﹣α）==﹣7，
故选：B．
　
7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出所取的3个球中有2个红球的概率，再用1减去它，即得所取的3个球中至多有1个红球的概率．
【解答】解：由题意可得所有的取法共有C53=10种，
而所取的3个球中有2个红球的种数为C31C22=3种，
∴故则所取的3个球中至多有1个红球的概率是1﹣=
故选：C
　
8．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．
【解答】解：把圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．
直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，
由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，
四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），
两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|===．
故选：A．

　
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=63，则输入a的值可以是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．
【解答】解：当m=1，n=0，S=﹣1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=1，s=0，m=3；
当m=3，n=1，S=0时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=2，s=3，m=5；
当n=2，s=3，m=5时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=3，s=8，m=7；
当n=3，s=8，m=7时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=4，s=15，m=9；
当n=4，s=15，m=9时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=5，s=24，m=11；
当n=5，s=24，m=11时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=6，s=35，m=13；
当n=6，s=35，m=13时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=7，s=48，m=15；
当n=7，s=48，m=15时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=8，s=63，m=17；
若输出的S=63，则n≤7，故a=7，
故选：B．
　
10．已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意可得曲线和直线均过原点，判断f（x）为奇函数且在R上递增，当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），求得切线的斜率为2，讨论k的变化，即可得到符合题意的k的最大值．
【解答】解：由曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx均过原点（0，0），
由f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
且f′（x）=ex+e﹣x＞0，f（x）在R上递增，
由题意可得f（x）与直线y=kx有且仅有交点为（0，0），
当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），
切线的斜率为k=e0+e0=2，
当k＜0时，显然只有一个交点（0，0），
当0≤k≤2时，显然只有一个交点（0，0），
当k＞2时，有3个交点．
则符合条件的k的最大值为2．
故选：D．

　
11．已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（　　）
A． B．64π C．100π D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为+3=R，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，AB=2x，则球心到平面A1B1C1D1的距离为3
S到平面ABCD的距离为+3=R，
由勾股定理可得R2=32+2x2，
∴R=5，x=2
∴球的表面积为4πR2=100π．
故选：C．

　
12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（　　）
A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2 D．3
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】换底公式得到，然后令f（x）=0，从而得出，，然后画出直线y=x﹣3，y=x，y=x+3以及函数和的图象，由图象可看出|x1﹣x2|为A，B两点距离的一半，从而求出|x1﹣x2|的值．
【解答】解：；

∴令f（x）=0得：
；
∴直线y=x﹣3和曲线的交点C横坐标为x1，直线y=x+3和曲线的交点D横坐标为x2；
如图，两曲线关于y=x对称，直线y=x﹣3和y=x+3关于y=x对称；
∴CD⊥AD，CD⊥CB；
∴．
故选：D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x+2y的取值范围是　[﹣1，3]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+2y为y=﹣x+，
由图可知，当直线y=﹣x+，
过O（0，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；
当直线y=﹣x+，
过A时，直线在y轴上的截距最大，
由，解得A（﹣1，2）z有最大值为3．
故答案为：[﹣1，3]．

　
14．若关于x的方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是　[2，3]　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用数形结合，得到函数在区间上有解的两种情况，由判别式和对称轴以及两个端点处的函数值，得到未知量m的范围．
【解答】解：∵方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解
∴函数f（x）=x2﹣mx+2在区间[1，2]上与x轴相交
①有1个交点时，满足
或
∴m=3或m=2
②有2个交点时，满足，
∴2＜m≤3．
综上所述，得m的取值范围是．
　
15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线C的右支上存在一点P满足|PF1|=3|PF2|，且•=﹣a2，则双曲线C的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF2|=t，则|PF1|=3t，利用双曲线的定义，可得t=a，利用余弦定理可得cos∠F1PF2，再利用数量积公式，即可求出双曲线C的离心率为．
【解答】解：设|PF2|=t，则|PF1|=3t，∴3t﹣t=2a，
∴t=a，
由余弦定理可得cos∠F1PF2==，
∵•=﹣a2，
∴3a•a•=﹣a2，
∴c=a，
∴e=．
故答案为：．
　
16．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B的值．
【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得： sin2A﹣cos2A=1，
∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得： sin（2A﹣）=1，
∴解得：sin（2A﹣）=，
∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），
∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），
∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，
∴解得：B=kπ+，k∈Z，
∵B∈（0，π），
∴B=．
故答案为：．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2•a6=a3•a7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列{an}的通项公式代入bn=，由Tn≥T1证明不等式左边，再由裂项相消法证明右边．
【解答】（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由S3=42，16a2•a6=a3•a7，得
，解得．
∴；
（2）证明：bn=
===，
∵数列{}的各项均为正数，
∴Tn≥；
Tn=b1+b2+…+bn==．
∴≤Tn＜．
　
18．某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，如表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A户型
0.7
1.3
1.1
1.4
1.1
0.9
0.8
0.8
1.3
0.9
B户型
1.2
1.6
2.3
1.8
1.4
2.1
1.4
1.2
1.7
1.3
（Ⅰ）根据如表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）．

【考点】茎叶图．
【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．
（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大，从而求出平均单价．
【解答】解：（Ⅰ）如图示：
…
A户型住宅每平方米销售价格的中位数为； …
B户型住宅每平方米销售价格的中位数为．…
（II）若选择A户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，
因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是； …
若选择B户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元，
因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率是，…
因为，所以选择A种户型抽签，能使购房成功的概率更大．…
此次购房每平方米的平均单价为万元． …
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是线段PC的中点， =．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）证明：DC⊥面EFH，即可证明：EF⊥CD；
（Ⅱ）根据点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，即可求点F到平面ADE的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）在侧面PCD中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC中点，
∴DE=1，
过E作EH⊥DC于H，连结FH，
∵底面ABCD是正方形，，
即，
∴AFHD是矩形，
∴FH⊥DC，…
又EH⊥DC，EH∩FH=H，
∴DC⊥面EFH，…
又∵EF⊂面EFH，
∴DC⊥EF． …
解：（II）由（I）知，FH∥平面ADE，
∴点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，…
∵底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，
∴AD⊥侧面PDC，
即AD⊥侧面DEH，
∴AD⊥DE，
，
在三棱锥H﹣ADE中，设点H到平面ADE的距离为d，则，…
由于VH﹣ADE=VA﹣DEH，
∴=，
∴DH•EH•AD=AD•DE•d，
∴=2•1•d，…
∴，
即点F到平面ADE的距离为． …


　
20．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），动点M满足|AM|=4，线段MB的垂直平分线与线段AM相交于点N，设点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与曲线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ（其中O为坐标原点），试问：是否存在定圆x2+y2=r2（r＞0），使得该圆恒与直线l相切？说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（ II）当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），由于OP⊥OQ，可得，即x1x2+y1y2=0，直线方程与椭圆方程联立可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，由x1x2+y1y2=0，利用根与系数的关系可得：，代入△＞0成立，原点O到直线l的距离可得：d=，直线y=kx+m与圆相切． 当直线l垂直于x轴时也成立．
【解答】解：（Ⅰ）∵点N在线段MB的垂直平分线上，∴|NB|=|NM|，
∴|NA|+|NB|=|NA|+|NM|=|AM|=4＞|AB|，
∴点N的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．
设此椭圆方程为，则，解得，
∴曲线C的方程为．
（ II）当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，…（*）
，．
则=，
解得，代入可知不等式（*）成立，
∴原点O到直线l的距离为，
∴直线y=kx+m与圆相切．
当直线l垂直于x轴时，不妨设点P在x轴上方，
根据椭圆的对称性，易得直线OP的方程为y=±x，
由，解得，
∴原点O到直线l距离为，因此直线l与圆相切．
综上所述：存在定圆，使得该圆恒与直线l相切．
　
21．已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求出切线l的方程，可得l与坐标轴的交点，即可求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）证明（f（x））min=f极小值（x）=f（1）=1，（4f'（x））max=4f'（2）=1，故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）与4f'（x）不同时取得最值，即可证明：f（x）＞4f′（x）．
【解答】（Ⅰ）解：由已知可得，
则f'（1）=0⇒m=0或m=1，
而当m=0与条件不符（舍去），∴m=1． …
所以，，
从而，，
故切线l的方程为：，…
l与坐标轴的交点分别为，B（0，2e﹣2），
所以切线l与坐标轴所围成的三角形的面积为=． …
（Ⅱ）证明：对于，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x=1时，f'（x）=0，当x＞1时，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，
故（f（x））min=f极小值（x）=f（1）=1． …
又，令，
则，
从而，即（4f'（x））max=4f'（2）=1． …
故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）与4f'（x）不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即f（x）＞4f'（x）成立． …
　
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．
【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
【解答】解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
∴62=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16，
∴AD=12
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．
【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化为或或
解得或或…
∴或或，
∴原不等式的解集为．…
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，
∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…
即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，
∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，
即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，
∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…
∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，
所以实数a的取值范围是． …