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高考数学模拟试卷(理科)
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这是一份高考数学模拟试卷(理科)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（ ）
A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}
2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为[4，8]，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（ ）
A. [-3，-2] B. [-3，-2）∪{2} C. [-3，2] D. [-3，-2]∪{2}
6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．或2
7．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（ ）
A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441
8．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）
A．3795000立方尺 B．2024000立方尺
C．632500立方尺 D．1897500立方尺
9．已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为 ．
14．（x﹣2）3（x+1）4的展开式中x2的系数为 ．
15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的半径为 ．
16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=，A=，求△ABC的面积．
18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．
（1）求证：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
21．已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若∀x∈
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（）＜6的解集；
（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．
高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（ ）
A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】根据题意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，进而由交集的意义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣6≥0⇒x≤﹣2或x≥3，
即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=（﹣∞，﹣2]∪；
A∩B=∪{3}；
故选：C．
2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，
∴a﹣bi=a2﹣b2+2abi．
∴a=a2﹣b2，﹣b=2ab．
解得a=﹣，b=．
则z的虚部为．
故选：C．
3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案．
【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①
sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②
由①②解得：sinαcosβ=，
故选：A．
4．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运算性质，计算即可．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，
，且AB=2AC=2，
∴=（+）•
=（﹣+）•（+）
=﹣﹣•+
=﹣×12﹣×（﹣1）+×22
=．
故选：B．
5．5．如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为[4，8]，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（ ）
A. [-3，-2] B. [-3，-2）∪{2} C. [-3，2] D. [-3，-2]∪{2}
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是
求分段函数y=在某一区间上的值域问题；
对题目中的选项分析即可．
【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是
求分段函数y=在某一区间上的值域问题；
x∈时，y=2﹣x∈=，满足题意，A正确；
x∈=（4，8]，
x=2时，y=x2=4，
∴x∈，满足题意，B正确；
x∈时，若x∈，则y=x2∈，不满足题意，C错误；
同理x∈∪{2}时，y∈，满足题意，D正确．
故选：C．
6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．或2
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】f（0）=﹣，则sinθ=﹣，求出θ，利用正弦函数的对称性，即可得出结论．
【解答】解：f（0）=﹣，则sinθ=﹣，
∵|θ|＜，∴θ=﹣，
∴πx﹣=2kπ+，∴x=2k+，
∴=，∴m=，
故选B．
7．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（ ）
A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441
【考点】8E：数列的求和．
【分析】设公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{an}的通项，再由并项求和即可得到所求和．
【解答】解：公差d大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，
可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，
a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，
可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），
即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，
解得d=2（负值舍去）
则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，
数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41
=﹣2×10+41=21．
故选：A．
8．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）
A．3795000立方尺 B．2024000立方尺
C．632500立方尺 D．1897500立方尺
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，
故选D．
9．已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，
由得，得A（4﹣k，k），
则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，
得k=或（舍），
故选：C
10．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．
【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，
不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|•|PF2|=y，
上式为：x﹣2y=4a2，①
∵∠F1PF2=60°，
∴在△F1PF2中，
由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2，②
即x﹣y=4c2，②
又|OP|=3b， +=2，
∴2+2+2||•||•cos60°=4||2=36b2，
即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2，
即x+y=36b2，③
由②+③得：2x=4c2+36b2，
①+③×2得：3x=4a2+72b2，
于是有12c2+108b2=8a2+144b2，
∴=，
∴e==．
故选：D．
11．体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】LR：球内接多面体．
【分析】先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围．
【解答】解：设BC=3a，则R=2a，
∵体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，
∴=，∴h=，
∵R2=（h﹣R）2+（a）2，∴4a2=（﹣2a）2+3a2，∴a=2，
∴BC=6，R=4，
∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，
∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=，
∴OE==2，
截面垂直于OE时，截面圆的半径为=2，截面圆面积为8π，
以OE所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，
∴所得截面圆面积的取值范围是．
故选：B．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．
【解答】解：∵，∴f′（x）＜，
令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，
∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为 1 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和．
【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，
∴，
解得，
∴{an}的前7项和为S7=•=1．
故答案为：1．
14．（x﹣2）3（x+1）4的展开式中x2的系数为 ﹣6 ．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理展开即可得出．
【解答】解：（x﹣2）3（x+1）4=（x3﹣6x2+12x﹣8）（x4+4x3+6x2+4x+1），
展开式中x2的系数为：﹣6﹣48+48=﹣6．
故答案为：﹣6．
15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的半径为 14 ．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程x=﹣1，设圆心坐标（﹣1，h），根据切线的性质列方程解出h，从而可求得圆的半径．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，
设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=，
∵直线x+y﹣3=0与圆C相切，
∴圆心C到直线的距离d=r，即=，
解得h=0（舍）或h=﹣8．
∴r==14．
故答案为：14．
16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为 （0，1） ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，
x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），
∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，
∴只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点
x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1，
∴a＜1，
综上所述，0＜a＜1，故答案为（0，1）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=，A=，求△ABC的面积．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）根据题意，将atanB=2bsinA变形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB=，由B的范围可得答案；
（2）由三角形内角和定理可得C的大小，进而由正弦定理可得c=×sinC=，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，atanB=2bsinA⇒a=2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，
由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，
变形可得2cosB=1，即cosB=，
又由0＜B＜π，
故B=，
（2）由（1）可得：B=，
则C=π﹣﹣=，
由正弦定理=，可得c=×sinC=，
S△ABC=bcsinA=×××=．
18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．
【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．
则X的分布列为：
X
1
2
3
P
∴．
设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，
则Y的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
∴．（或∵，∴）．（）
由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．
（1）求证：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【分析】（1）取AC的中点O，连接OA1，OB，推导出AC⊥OA1，AC⊥A1B，从而AC⊥平面OA1B，进而AC⊥OB，由点O为AC的中点，能证明AB=BC．
（2）以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，
∵点O为等边△A1AC中边AC的中点，
∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，
∴AC⊥平面OA1B，又OB⊂平面OA1B，
∴AC⊥OB，∵点O为AC的中点，∴AB=BC．
（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∵A1O⊥AC，侧面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC
以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
设AC=2，则A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），
∴，，，
设平面BCC1B1的一个法向量，
则有，即，令，
则，z0=﹣1，∴，
设A1B与平面BCC1B1所成角为θ，
则．
∴A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=0，a＞1，解得a．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN=；当直线l的斜率为0时，S△PMN=．
②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为：y=kx，与椭圆方程联立解得x2，y2．|MN|=2．由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，与椭圆方程联立可得|OP|=．利用S△PMN=|MN|×|OP|，与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，
根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=﹣4×=0，a＞1，解得a=2．
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN==2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN==2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为：y=kx，由，解得x2=，y2=．
∴|MN|=2=4．
由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，
联立，可得x2=，y2=．
∴|OP|==2．
S△PMN=|MN|×|OP|=≥=，当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为．
∵，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为：y=±x．
21．已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若∀x∈
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，
∴+==．
23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（）＜6的解集；
（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（）＜6；
（Ⅱ）作出函数的图象，结合图象求解．
【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，
∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；
0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；
x≥6，不等式可化为x+x﹣3＜6，∴x＜9，
∴6≤x＜9；
综上所述，不等式的解集为{x|﹣3＜x＜9}；
（2）f（x）=|x|+|x﹣3|．
由题意作图如下，
k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，
由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，
∴．
高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（ ）
A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}
2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为[4，8]，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（ ）
A. [-3，-2] B. [-3，-2）∪{2} C. [-3，2] D. [-3，-2]∪{2}
6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．或2
7．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（ ）
A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441
8．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）
A．3795000立方尺 B．2024000立方尺
C．632500立方尺 D．1897500立方尺
9．已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为 ．
14．（x﹣2）3（x+1）4的展开式中x2的系数为 ．
15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的半径为 ．
16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=，A=，求△ABC的面积．
18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．
（1）求证：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
21．已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若∀x∈
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（）＜6的解集；
（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．
高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（ ）
A． B． C．∪{3} D．∪{﹣3}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】根据题意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，进而由交集的意义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣6≥0⇒x≤﹣2或x≥3，
即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=（﹣∞，﹣2]∪；
A∩B=∪{3}；
故选：C．
2．设复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数z=a+bi（a，b∈R，b＞0），且，
∴a﹣bi=a2﹣b2+2abi．
∴a=a2﹣b2，﹣b=2ab．
解得a=﹣，b=．
则z的虚部为．
故选：C．
3．若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案．
【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①
sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②
由①②解得：sinαcosβ=，
故选：A．
4．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若，AB=2AC=2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意画出图形，结合图形根据平面向量的线性运算与数量积运算性质，计算即可．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，
，且AB=2AC=2，
∴=（+）•
=（﹣+）•（+）
=﹣﹣•+
=﹣×12﹣×（﹣1）+×22
=．
故选：B．
5．5．如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为[4，8]，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（ ）
A. [-3，-2] B. [-3，-2）∪{2} C. [-3，2] D. [-3，-2]∪{2}
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是
求分段函数y=在某一区间上的值域问题；
对题目中的选项分析即可．
【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是
求分段函数y=在某一区间上的值域问题；
x∈时，y=2﹣x∈=，满足题意，A正确；
x∈=（4，8]，
x=2时，y=x2=4，
∴x∈，满足题意，B正确；
x∈时，若x∈，则y=x2∈，不满足题意，C错误；
同理x∈∪{2}时，y∈，满足题意，D正确．
故选：C．
6．函数f（x）=sin（πx+θ）（|θ|＜）的部分图象如图，且f（0）=﹣，则图中m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．或2
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】f（0）=﹣，则sinθ=﹣，求出θ，利用正弦函数的对称性，即可得出结论．
【解答】解：f（0）=﹣，则sinθ=﹣，
∵|θ|＜，∴θ=﹣，
∴πx﹣=2kπ+，∴x=2k+，
∴=，∴m=，
故选B．
7．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（ ）
A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441
【考点】8E：数列的求和．
【分析】设公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{an}的通项，再由并项求和即可得到所求和．
【解答】解：公差d大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，
可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，
a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，
可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），
即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，
解得d=2（负值舍去）
则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，
数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41
=﹣2×10+41=21．
故选：A．
8．中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）
A．3795000立方尺 B．2024000立方尺
C．632500立方尺 D．1897500立方尺
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，
故选D．
9．已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，
由得，得A（4﹣k，k），
则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，
得k=或（舍），
故选：C
10．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．
【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，
不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|•|PF2|=y，
上式为：x﹣2y=4a2，①
∵∠F1PF2=60°，
∴在△F1PF2中，
由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2，②
即x﹣y=4c2，②
又|OP|=3b， +=2，
∴2+2+2||•||•cos60°=4||2=36b2，
即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2，
即x+y=36b2，③
由②+③得：2x=4c2+36b2，
①+③×2得：3x=4a2+72b2，
于是有12c2+108b2=8a2+144b2，
∴=，
∴e==．
故选：D．
11．体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】LR：球内接多面体．
【分析】先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围．
【解答】解：设BC=3a，则R=2a，
∵体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，
∴=，∴h=，
∵R2=（h﹣R）2+（a）2，∴4a2=（﹣2a）2+3a2，∴a=2，
∴BC=6，R=4，
∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，
∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=，
∴OE==2，
截面垂直于OE时，截面圆的半径为=2，截面圆面积为8π，
以OE所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，
∴所得截面圆面积的取值范围是．
故选：B．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．
【解答】解：∵，∴f′（x）＜，
令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，
∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为 1 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和．
【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，
∴，
解得，
∴{an}的前7项和为S7=•=1．
故答案为：1．
14．（x﹣2）3（x+1）4的展开式中x2的系数为 ﹣6 ．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理展开即可得出．
【解答】解：（x﹣2）3（x+1）4=（x3﹣6x2+12x﹣8）（x4+4x3+6x2+4x+1），
展开式中x2的系数为：﹣6﹣48+48=﹣6．
故答案为：﹣6．
15．已知圆C过抛物线y2=4x的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C的圆心不在x轴上，且与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的半径为 14 ．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程x=﹣1，设圆心坐标（﹣1，h），根据切线的性质列方程解出h，从而可求得圆的半径．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，
设圆C的圆心为C（﹣1，h），则圆C的半径r=，
∵直线x+y﹣3=0与圆C相切，
∴圆心C到直线的距离d=r，即=，
解得h=0（舍）或h=﹣8．
∴r==14．
故答案为：14．
16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为 （0，1） ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，
x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），
∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，
∴只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点
x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1，
∴a＜1，
综上所述，0＜a＜1，故答案为（0，1）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=，A=，求△ABC的面积．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）根据题意，将atanB=2bsinA变形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB=，由B的范围可得答案；
（2）由三角形内角和定理可得C的大小，进而由正弦定理可得c=×sinC=，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，atanB=2bsinA⇒a=2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，
由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，
变形可得2cosB=1，即cosB=，
又由0＜B＜π，
故B=，
（2）由（1）可得：B=，
则C=π﹣﹣=，
由正弦定理=，可得c=×sinC=，
S△ABC=bcsinA=×××=．
18．某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．
【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．
（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．
则X的分布列为：
X
1
2
3
P
∴．
设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，
则Y的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
∴．（或∵，∴）．（）
由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
19．如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B．
（1）求证：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【分析】（1）取AC的中点O，连接OA1，OB，推导出AC⊥OA1，AC⊥A1B，从而AC⊥平面OA1B，进而AC⊥OB，由点O为AC的中点，能证明AB=BC．
（2）以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，
∵点O为等边△A1AC中边AC的中点，
∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，
∴AC⊥平面OA1B，又OB⊂平面OA1B，
∴AC⊥OB，∵点O为AC的中点，∴AB=BC．
（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∵A1O⊥AC，侧面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC
以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
设AC=2，则A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），
∴，，，
设平面BCC1B1的一个法向量，
则有，即，令，
则，z0=﹣1，∴，
设A1B与平面BCC1B1所成角为θ，
则．
∴A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=0，a＞1，解得a．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN=；当直线l的斜率为0时，S△PMN=．
②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为：y=kx，与椭圆方程联立解得x2，y2．|MN|=2．由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，与椭圆方程联立可得|OP|=．利用S△PMN=|MN|×|OP|，与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，
根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=﹣4×=0，a＞1，解得a=2．
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN==2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN==2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为：y=kx，由，解得x2=，y2=．
∴|MN|=2=4．
由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，
联立，可得x2=，y2=．
∴|OP|==2．
S△PMN=|MN|×|OP|=≥=，当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为．
∵，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为：y=±x．
21．已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若∀x∈
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；
（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，
∴+==．
23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（）＜6的解集；
（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（）＜6；
（Ⅱ）作出函数的图象，结合图象求解．
【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，
∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；
0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；
x≥6，不等式可化为x+x﹣3＜6，∴x＜9，
∴6≤x＜9；
综上所述，不等式的解集为{x|﹣3＜x＜9}；
（2）f（x）=|x|+|x﹣3|．
由题意作图如下，
k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，
由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，
∴．
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