四川省高考数学模拟试卷(理科)

这是一份四川省高考数学模拟试卷(理科)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（∁RB）等于（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|﹣2≤x≤1}
2．设a，b为实数，若复数=1﹣i（i为虚数单位），则（　　）
A．a=﹣1，b=﹣2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=2 D．a=1，b=﹣2
3．已知向量=（1，2），=（m，﹣4），若||||+•=0，则实数m等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
6．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（　　）

A．100，8 B．80，20 C．100，20 D．80，8
7．已知双曲线﹣=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
9．已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（　　）
A． B．﹣ C．1 D．
11．体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知（2x+）n的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为　　（数字回答）
14．已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为　　．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为　　x．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为　　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）在数列{an}和{bn}中，a1=，{an}的前n项为Sn，满足Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（n∈N*），bn=（2n+1）an，{bn}的前n项和为Tn．
（1）求数列{bn}的通项公式bn以及Tn．
（2）若T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，求实数m的值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PC=BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

19．（12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：
编号
成绩
1
2
3
4
5
物理（x）
90
85
74
68
63
数学（y）
130
125
110
95
90
（1）求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程=x+（b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
（参考公式：b=， =b，）参考数据：902+852+742+682+632=29394
90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．
20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．
（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax（e自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论关于x的方程f（x）=a的根的个数；
（3）若a≥1，当xf（x）≥x3﹣x2+3ax﹣1+m对任意x∈[0，+∞）恒成立时，m的最大值为1，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C2．
（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．
（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．
　
四川省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（∁RB）等于（　　）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|﹣2≤x≤1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】解不等式求出A，根据补集与交集的定义计算即可．
【解答】解：A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，
B={x|x＜﹣1}，
∁RB={x|x≥﹣1}，
∴A∩（∁RB）={x|﹣1≤x≤3}．
故选：C．
【点评】本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．　
2．设a，b为实数，若复数=1﹣i（i为虚数单位），则（　　）
A．a=﹣1，b=﹣2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=2 D．a=1，b=﹣2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：复数=1﹣i（i为虚数单位），则1+3i=（a﹣bi）（1﹣i）=a﹣b﹣（a+b）i，
∴a﹣b=1，﹣a﹣b=3，解得a=﹣1，b=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
3．已知向量=（1，2），=（m，﹣4），若||||+•=0，则实数m等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据||||+•=0得出cosθ=﹣1，、的方向相反，由此求出m的值．
【解答】解：向量=（1，2），=（m，﹣4），
且||||+•=0，
∴||||+||||cosθ=0，
∴cosθ=﹣1，
∴、的方向相反，
∴=﹣2，
∴m=﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与运算问题，是基础题目．　
4．设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=60.4＞1，b=log0.40.5∈（0，1），c=log80.4＜0，
∴a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
i=0，S=1
满足条件i＜4，执行循环体，i=1，S=
满足条件i＜4，执行循环体，i=2，S=﹣
满足条件i＜4，执行循环体，i=3，S=﹣
满足条件i＜4，执行循环体，i=4，S=﹣
不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为﹣．
故选：C．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理），②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型，③解模，本题属于基础题．
　
6．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（　　）

A．100，8 B．80，20 C．100，20 D．80，8
【考点】频率分布直方图．
【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【解答】解：样本容量为：（150+250+100）×20%=100，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：100×．
故选：A．
【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．　
7．已知双曲线﹣=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线﹣=1的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：由题意m2+16=25，4m﹣3＞0，∴m=3， =3，
∴该双曲线的渐近线的斜率为，
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．　
8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，
结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，
该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，
画出直观图如图所示；
则几何体的体积为
V几何体=V三棱柱+V三棱锥
=××2+×××2
=．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．
　
9．已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣
=﹣
=﹣cos2ωx，
∴=，解得：ω=2，
∴f（x）=﹣cos4x，
∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），
∴cos4a=0，
∴4a=kπ+，k∈Z，
当k=0时，a的最小值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．　
10．若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（　　）
A． B．﹣ C．1 D．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．
【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，
z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，
可知目标函数的最优解过点A，
由，解得A（，3），
﹣=a﹣3，解得m=1；
故选：C．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．　
11．体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】球内接多面体．
【分析】先确定球的半径，计算△ABC的面积，再计算三棱锥P一ABC的体积．
【解答】解：由题意可得球O的半径为2，如图，
因为PQ是球的直径，所以∠PAQ=90°，∠APQ=60°，可得AP=2，
△ABC所在小圆圆心为O′，可由射影定理AP2=PO′•PQ，所以PO′=1，AO′=，
因为O′为△ABC的中心，所以可求出△ABC的边长为3，面积为，
因此，三棱锥P﹣ABC的体积为V==．
故选：C．

【点评】本题考查球的内接正三棱锥，考查三棱锥体积的计算，正确计算△ABC的面积是关键．　
12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数y=ex的导数，可得切线的斜率，运用φ（A，B），由分离参数法，可得t＜恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到t的范围．
【解答】解：y=ex的导数为y′=ex，
φ（A，B）===＞0，
可得==＞1，
t•φ（A，B）＜3恒成立，则t＜恒成立，
由＞3，
即有t≤3．
故选：A．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题．　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知（2x+）n的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为　60　（数字回答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由题意可得：2n=64，解得n=6．再利用通项公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．
∴的通项公式为：Tr+1=（2x）6﹣r=26﹣r，
令6﹣=0，解得r=4．
∴展开式中的常数项==60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
14．已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为　10　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的定义：|BF|=9+，|AF|=1+，根据题意可知求得p，代入椭圆方程，分别求得y1，y2的值，即可求得y12+y2的值．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点（，0），
由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，
由|BF|=5|AF|，即9+=1+，解得：p=2，
∴抛物线y2=4x，
将A，B代入，解得：y1=2，y2=6，
∴y12+y2=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题．　
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为　　x．
【考点】数列的应用．
【分析】第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．
【解答】解：第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；
…，可得第8关收税金： x，即x．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为　　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：∵acosB+bcosA=2，
∴a×+b×=2，
∴c=2，…（6分）
∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，
∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）
由cosC=，得sinC=，…（10分）
∴S△ABC=absinC≤××=，
故△ABC的面积最大值为．
故答案为：．…（12分）
【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）（2017•新乡二模）在数列{an}和{bn}中，a1=，{an}的前n项为Sn，满足Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（n∈N*），bn=（2n+1）an，{bn}的前n项和为Tn．
（1）求数列{bn}的通项公式bn以及Tn．
（2）若T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，求实数m的值．
【考点】数列的求和；等差数列的性质；数列递推式．
【分析】（1）由Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（n∈N*），可得an+1=Sn+1﹣Sn=．可得an=，bn=（2n+1）an=（2n+1）×．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：T1=，T2=，T3=．利用T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，即可得出．
【解答】解：（1）∵Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（n∈N*），∴an+1=Sn+1﹣Sn=﹣=．
∴n≥2时，an=，又a1=，因此n=1时也成立．
∴an=，
∴bn=（2n+1）an=（2n+1）×．
∴Tn=+++…+，
=+…++，
∴=﹣=+2×﹣，
∴Tn=5﹣．
（2）由（1）可得：T1=，T2=，T3=．
∵T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，∴ ++3×（+）=2×，
解得m=．
【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•四川模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PC=BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由线面垂直的定义，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，证出BD⊥AC，根据线面垂直判定定理证出AC⊥平面PBD，从而得到AC⊥DE；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示．得D、A、C、P、E的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（1，1，1）是平面ACP的一个法向量， =（﹣1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PD⊥AC
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，
∴AC⊥平面PBD
∵DE⊂平面PBD，
∴AC⊥DE
（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设BC=3，则CP=3，DP=3，结合2BE=EP可得
D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），
E（1，2，2）
∴=（0，3，﹣3），=（3，0，﹣3），=（1，2，﹣1）
设平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），可得
，取x=1得=（1，1，1）
同理求得平面ACE的一个法向量为=（﹣1，1，1）
∵cos＜，＞==，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于

【点评】本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题．　
19．（12分）（2017•四川模拟）在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：
编号
成绩
1
2
3
4
5
物理（x）
90
85
74
68
63
数学（y）
130
125
110
95
90
（1）求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程=x+（b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
（参考公式：b=， =b，）参考数据：902+852+742+682+632=29394
90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据表中数据计算、，求出回归系数、，写出回归方程，
利用回归方程计算x=80时的值即可；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（1）根据表中数据计算=×（90+85+74+68+63）=76，
=×（130+125+110+95+90）=110，
=902+852+742+682+632=29394，
xiyi=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，
===≈1.5，
=﹣=110﹣1.5×76=﹣4；
∴x、y的线性回归方程是=1.5x﹣4，
当x=80时， =1.5×80﹣4=116，
即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，
X表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，
P（X=1）==，P（X=2）==，
P（X=3）==；
故X的分布列为：
X
1
2
3
p



X的数学期望值为E（X）=1×+2×+3×=1.8．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和期望问题，是基础题．　
20．（12分）（2017•新乡二模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．
（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可知b2=3c2，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M和N点的纵坐标，利用斜率公式求得k1，k2，利用韦达定理即可求得k1k2．
【解答】解：（1）由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），
∵∠QAF1=90°，
∴b2=3c2，
由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，
由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，
∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，
即=2c，
解得：c=1，b2=3，a2=4，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
直线PQ的方程为x=my+，代入椭圆方程，
4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，
y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
由B，E，M，三点共线，可知： =，即yM=，
同理可得：yN=，
∴k1k2=×==，
由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，
∴k1k2==﹣，
∴k1k2是否为定值﹣．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题．　
21．（12分）（2017•四川模拟）已知函数f（x）=ex﹣ax（e自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论关于x的方程f（x）=a的根的个数；
（3）若a≥1，当xf（x）≥x3﹣x2+3ax﹣1+m对任意x∈[0，+∞）恒成立时，m的最大值为1，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）f′（x）=ex﹣a，对a分类讨论，即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）可得：对a分类讨论，利用其单调性即可得出：方程f（x）=a的根的个数．
（3）a≥1时，xf（x）≥x3﹣x2+3ax﹣1+m，化为：x（ex﹣ax）﹣x3+x2﹣3ax+1≥m，令g（x）=x（ex﹣ax）﹣x3+x2﹣3ax+1，x∈[0，+∞）．g′（x）=（1+x）[ex﹣3（x+a）]，令h（x）=ex﹣3（x+a），可得h′（x）=ex﹣3，可得：函数h（x）存在唯一零点x0．令g′（x）=0，可得=3x0+3a．利用g（x0）≥1，化为：a≥﹣3，即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．则x∈（﹣∞，lna）时，此时函数f（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，此时函数f（x）单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna）；函数f（x）单调递增区间是[lna，+∞）．
（2）由（1）可得：①当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增．
x→+∞时，f（x）→+∞；x→﹣∞时，f（x）→﹣∞．
因此此时方程f（x）=a的根的个数为1．
②a=0时，f（x）=ex＞0，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
③当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna）；函数f（x）单调递增区间是[lna，+∞）．
可得函数f（x）的极小值即最小值为：f（x）min=f（lna）=a﹣alna，
因此a=1时，f（x）min=f（0）=1，∴此时方程f（x）=a的根的个数为1．
a＞1时，f（x）min=f（lna）=a﹣alna＜a，∴此时方程f（x）=a的根的个数为2．
0＜a＜1时，f（x）min=f（lna）=a﹣alna＞a，∴此时方程f（x）=a的根的个数为0．
综上可得：①当a＜0时，此时方程f（x）=a的根的个数为1．
②a=0时，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
③当a＞0时，a=1时，此时方程f（x）=a的根的个数为1．
a＞1时，此时方程f（x）=a的根的个数为2．
0＜a＜1时，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
（3）a≥1时，xf（x）≥x3﹣x2+3ax﹣1+m，化为：x（ex﹣ax）﹣x3+x2﹣3ax+1≥m，
令g（x）=x（ex﹣ax）﹣x3+x2﹣3ax+1，x∈[0，+∞）．
g′（x）=（1+x）[ex﹣3（x+a）]，
令h（x）=ex﹣3（x+a），可得h′（x）=ex﹣3，
因此当x=ln3时，h（x）取得极小值，即最小值，h（ln3）=3﹣3（ln3+a）＜0，
且h（0）=1﹣3a＜0；x→+∞时，h（x）→+∞．
因此函数h（x）存在唯一零点x0，．
令g′（x）=0，可得=3x0+3a．
可得：当x=x0时，函数g（x）取得极小值，即最小值．
∴g（x0）=x0﹣+﹣3ax0+1≥1，
化为：a≥﹣3，其中x0满足： =3x0+3a．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值并且研究方程的根的个数、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•四川模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C2．
（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．
【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则极坐标方程，ρ=ρ0=•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程．
（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得出（tcosφ+1）2+（tsinφ﹣1）2=2，即t2+2（cosφ﹣sinφ）t=0，φ的值应使得关于t的方程有两相等实根．
【解答】解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则
ρ=ρ0=•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），…
两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．…
（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得
（tcosφ+1）2+（tsinφ﹣1）2=2，即t2+2（cosφ﹣sinφ）t=0，…（7分）
t1=0，t2=sinφ﹣cosφ，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ﹣cosφ=0，
因为0≤φ＜π，所以φ=．…（10分）
【点评】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程中参数的意义，考查了方程思想．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•四川模拟）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．
（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）分类讨论，求出函数的值域，即可求m的值；
（ 2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求ab+bc的最大值．
【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）+2（x+1）=x+5≤4；
当﹣1＜x＜3时，f（x）=（3﹣x）﹣2（x+1）=﹣3x+1∈（﹣8，4）；
当x≥3时，f（x）=（x﹣3）﹣2（x+1）=﹣x﹣5≤﹣8．…
故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=4；
|x﹣3|﹣2|x+1|＜1，可化为
当x≤﹣1时，x+5＜1，∴x＜﹣4；当﹣1＜x＜3时，﹣3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；
当x≥3时，﹣x﹣5＜1，∴x＞﹣4，∴x≥3，
综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣4或x＞0}；
（2）由（2）知，a2+2b2+c2=4，则ab+bc≤ [（a2+b2）+（b2+c2）]=2，
∴ab+bc的最大值为2．
【点评】本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．