2023年福建省中考数学试卷（含解析）

2023年福建省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  若某三角形的三边长分别为，，，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

7.  阅读以下作图步骤：
在和上分别截取，，使；
分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是(    )

A. 且 B. 且
C. 且 D. 且

8.  为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间单位：分钟，并制作了如图所示的统计图根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是(    )

 

A. 平均数为分钟 B. 众数为分钟 C. 中位数为分钟 D. 方差为

9.  如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为如图，的半径为，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  某仓库记账员为方便记账，将进货件记作，那么出货件应记作______ ．

12.  如图，在▱中，为的中点，过点且分别交，于点，若，则的长为______ ．

13.  如图，在菱形中，，，则的长为______ ．

14.  某公司欲招聘一名职员对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按：：的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是______ ．

15.  已知，且，则的值为______ ．

16.  已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，，，求证：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，已知内接于，的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
求证：；
求证：平分．

22.  本小题分
为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的个红球及编号为的个黄球的袋中，随机摸出个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入个红球或黄球它们的大小质地与袋中的个球完全相同，然后从中随机摸出个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份现已知某顾客获得抽奖机会．
求该顾客首次摸球中奖的概率；
假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．

23.  本小题分
阅读下列材料，回答问题．

补全小明求解过程中所缺的内容；
小明求得用到的几何知识是______ ；
小明仅利用皮尺，通过次测量，求得请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过次测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分．

24.  本小题分
已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为．
求抛物线的函数表达式；
若，，且，求证：，，三点共线；
小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

25.  本小题分
如图，在中，，，是边上不与，重合的一个定点于点，交于点是由线段绕点顺时针旋转得到的，，的延长线相交于点．

求证：∽；
求的度数；
若是的中点，如图，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系定理得：，
解得：，
即符合的只有，
故选：．
根据三角形的三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：

，
则符合题意；
B.

，
则不符合题意；
C.

，
则不符合题意；
D.与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，
根据题意得，，
故选：．
设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：、以，为圆心画弧的半径相等，因此，又，，因此≌得到，故A符合题意；
B、因为、的长在变化，所以和不一定相等，因此不一定等于，故B不符合题意；
C、因为、的长在变化，所以和不一定相等，故C不符合题意；
D、的位置在变化，所以和不一定平行，因此不一定等于，故D不符合题意．
故选：．
由≌推出；和不一定相等，因此不一定等于；和不一定相等；和不一定平行，因此不一定等于．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到≌．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：、、、、、、，
A.平均数是，故选项错误，不符合题意；
B.这组数的众数是，故选项正确，符合题意；
C.将这组数由小到大排列为：、、、、、、，中位数是，故选项错误，不符合题意；
D.这组方差为：，故选项错误，不符合题意；
故选：．
根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接正方形的对角线，过点，分别作轴的垂线．垂足分别为、，点在函数上，如图：

边形是正方形，
，，
，
≌，
，
点在第二象限，
，
故选：．
如图，点在函数上，证明≌，根据的几何意义即可求解．
本题考查正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为，
故选：．
过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：进货件记作，
出货件应记作，
故答案为：．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
由平行线四边形的性质得到，，因此，，又，即可证明≌，得到，于是得出．
本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由≌推出，由平行线的性质得到，推出．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
由菱形的性质得到，又，因此是等边三角形，得到．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出是等边三角形．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：由题意可得，
甲的成绩为：，
乙的成绩为：，
丙的成绩为：，
，
乙将被录取，
故答案为：乙．
根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据，可得，再代入即可求出答案．
本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为：，
，
抛物线开口向上，
，
若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
由题意可得：，
解得：，
的取值范围为：．
故答案为：．
由题意可知：抛物线的对称轴为，开口向上，再分点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧两种情况求解即可．
本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据算术平方根的定义，零指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
所以原不等式组的解集为． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
即．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据角的和差求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】证明：是的切线，
，
即，
是的直径，
，
，
，
，
，
即，
；
与都是所对的圆周角，
，
，
，
，
由知，，
，
平分． 

【解析】根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到，根据平行线的判定定理即可得到；
根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，由知，，根据角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄，黄，黄，共种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有种，
，
顾客首次摸球中奖的概率为；
他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

共有种等可能结果，
若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
，
，
他应往袋中加入黄球． 

【解析】用概率公式直接可得答案；
记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】    相似三角形的判定和性质 

【解析】解：由测量知，，，，，
，
又，
∽，
．
又，
．
故答案为：；；

求得用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质．
故答案为：相似三角形的判定与性质；

测量过程：在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
用皮尺测得．

求解过程：由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以，
所以．
故小水池的最大宽度为．
利用相似三角形的判定和性质解决问题即可；
利用相似三角形的判定和性质；
在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得由此求解即可，
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】解：因为抛物线经过点，，
所以，
解得，
所以抛物线的函数表达式为；

证明：设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，
所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以，
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，
所以点在直线上，即，，三点共线；

的面积为定值，其面积为．
理由如下：考生不必写出下列理由
如图，当，分别运动到点的位置时，，与，分别关于直线对称，此时仍有，三点共线．
设与的交点为，则，关于直线对称，即轴．
此时，与不平行，且不平分线段，
故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，
所以的面积不为定值．

如图，当，分别运动到点的位置，且保持，三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，
所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为，，中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在的条件下，，，，
直线对应的函数表达式为；直线对应的函数表达式为，
由，解得，
，此时的面积为． 

【解析】利用待定系数法吗，构建方程组求解；
求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论；
取特殊位置，判断出，的面积不为定值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
 

25.【答案】证明：如图：

是由线段绕点顺时针旋转得到的，
，，，
，，
．
，
，
，
，
，
∽；
解：设与的交点为，如图：

，，
∽，
，即，
，
∽，
，
，
，
，
；
证明：延长交于点，连接，，如图：

，
，
．
是的中点，
，
，
≌，
，，
，，，
，
，
由知，∽，
．
，
≌，
，，
，即，
，
，
． 

【解析】由是由线段绕点顺时针旋转得到的，得，，，又，，可得，根据，有，故∽；
设与的交点为，由，，有∽，，即，可得∽，即得，从而；
延长交于点，连接，，由，知，，而是的中点，有，可得≌，从而，，可证，≌，得，，即可得，故．
本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．