2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中，绝对值最大的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图案中，不是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人次测试成绩的平均数都是秒，方差分别为，，，，则这四名运动员百米成绩最稳定的是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁5.  一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是它的主视图和俯视图，若该几何体所用小立方块的个数为个，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 6.  从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，在锐角中，，分别是、边上的高，且与相交于点，若，的度数为(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点，点是位于直线下方的上的一动点点不与重合，连接，过点作，过点作，与相交于点若，设，，则关于的函数关系用图象可以大致表示为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  学校计划购买和两种实验器材，已知种器材每个元，种器材每个元学校准备将元钱全部用于购买这两种器材两种都买，该学校的购买方案有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种10.  如图，抛物线与轴交于点，对称轴为下列结论：；；若关于的方程一定有两个不相等的实数根；其中结论正确的个数有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.  据中汽协会数据，年，由于海外供给不足和中国车企出口竞争力的大幅增强，汽车出口突破万辆，达到万辆，同比增长，中国已超过德国，成为全球第二大汽车出口国万用科学记数法可表示为______ ．12.  如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，请添加一个条件______ ，使四边形是平行四边形填一个即可
 13.  如图，是圆锥底面的直径，，母线，点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为______ ．
 14.  关于的方程的解是正数，则的取值范围是          ．15.  如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于，两点，若的面积是，则的值为______ ．
16.  已知，在矩形中，，，点为上一点，连接将沿折叠，点的对应点是点，连接，当为直角三角形时，的长为______．17.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，再以为直角边作，使按此规律进行下去，点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
按要求计算
计算：
因式分解：．19.  本小题分
解方程：．20.  本小题分
某市为了解初中生每周锻炼身体的时长单位：小时的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：组；组；组；组；组进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

求出这次抽样调查的学生总人数；
补全频数分布直方图；
组所在扇形的腰心角的度数为______ 度；
根据样本估计全市名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于小时的有多少名．21.  本小题分
如图，已知是的外接国，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．
22.  本小题分
甲、乙、丙三地顺次在一条公路上，一辆客车和一辆货车分别在甲、丙两地同时出发，客车从甲地出发匀速驶往丙地，中途在乙地停留了小时，然后以原速行驶到达丙地，货车从丙地出发匀速行驶，直接到达甲地两车距离乙地的路程单位：千米与行驶时间单位：小时之间的函数关系如图所示．
求出客车和货车的速度；
求客车从甲地驶向丙地的过程中与之间的函数关系式；
求两车在行驶途中何时相遇；
直接写出两车在行驶途中何时相距千米．
23.  本小题分
综合与实践如图，正方形与正方形有公共顶点，，，连接，．

如图，当点，在正方形内时，线段与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
把正方形绕点旋转到如图的位置，中的结论还成立吗？说明理由；
把正方形绕点在平面内自由旋转．
当，，三点在同一条直线上时，的长是______ ；
旋转过程中，的最大值为______ ．24.  本小题分
综合与探究
如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，直线与抛物线交于点、点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，与直线交于点．
求抛物线的解析式；
已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
是直线上一点，若，求点的坐标；
是轴上一点，是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、、、的绝对值分别为、、、，
所以绝对值最大的数是．
故选：．
先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了有理数大小比较以及绝对值，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、图形是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，符合题意；
C、图形是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知中心对称图形是旋转度与它本身重合是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据同底数幂的除法，立方根的定义，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再得出选项即可．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，能熟记同底数幂的除法、实数的运算、负整数指数幂和零指数幂的定义是解此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，，，，
，
则四名运动员百米成绩最稳定的是丁．
故选：．
比较甲乙丙丁四个人成绩的方差，方差小的成绩稳定，即可求解．
本题考查了方差，掌握方差的意义，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据主视图、俯视图，可以得出最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下：

最少时需要个，
因此的最小值为．
故选：．
根据主视图、俯视图确定摆放最少时的正方体的个数即可解答．
本题主要考查了由三视图判断几何体，在俯视图上相应位置标出所摆放的个数是解答本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．
故选：．
让甲被选中的情况数除以总情况数即为所求的可能性．
本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 7.【答案】 【解析】解：，分别是，边上的高，
，
，
四边形内角和为，
对顶角相等．
故选：．
根据三角形高线的性质、四边形内角和为和对顶角相等求解．
此题比较简单，考查的是三角形高线的性质及四边形内角和为．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
直线是线段的中垂线，
，，
，
∽，
，
，
，
点是位于直线下方的上的一动点点不与重合，
，
只有选项符合题意．
故选：．
根据，得，根据直线是线段的中垂线，得，，证出∽，所以得，又，即可得出答案．
本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是证出∽，得．
 9.【答案】 【解析】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个，
由题意可得：，
．
，均为正整数，
，，，，
该学校共有种购买方案．
故选：．
设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据“总价单价数量”列出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数即解答．
本题主要考查二元一次方程的解的问题，理解题意、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，
，
，故正确．
抛物线的对称轴是直线，
，
，故正确．
抛物线与轴的交点在的下方，
抛物线与直线一定有两个交点，
关于的方程一定有两个不相等的实数根，故正确；
，
，
时，，即，
，即，
而，
，
，故错误．
故选：．
根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断；利用抛物线的对称轴即可判断；由抛物线与轴的交点在的下方，即可判断；由对称轴方程得到，由时，得到即，则，所以，则可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，也考查了二次函数的性质．
 11.【答案】 【解析】解：万．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 12.【答案】答案不唯一 【解析】解：添加的条件为；
连接交于，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：答案不唯一．
可连接对角线，通过对角线互相平分得出结论．
本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：由题意知，底面圆的直径，
故底面周长等于，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，
解得，
所以展开图中，
因为半径，，
故三角形为等边三角形，
又为的中点，
所以，在直角三角形中，，，
根据勾股定理求得，
所以蚂蚁爬行的最短距离为．
故答案为：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
 14.【答案】且 【解析】【分析】
先去分母得，可解得，由于关于的方程的解是正数，则并且，即且，解得且．
本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程解分式方程要记得检验是否为增根．
【解答】
解：去分母得，
解得，
关于的方程的解是正数，
且，
且，解得且，
的取值范围是且．
故答案为：且．  15.【答案】 【解析】解：连接、，如图，
轴，
，
而，
，
而，
．
故答案为：．
连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数的几何意义得到，然后解关于的绝对值方程可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 16.【答案】或 【解析】【解答】
解：如图，当时，

根据折叠的对称性可知，，
所以、、三点共线．
在中，利用勾股定理求得，
．
如图，当时，

此时点落在上，四边形是正方形．
所以，
则．
在中，利用勾股定理求得．
综上所述可知或．
故答案为：或．
【分析】
为直角三角形时，有两种情况：如图，当时，证明、、三点共线，即可；
如图，当时，此时点落在上，四边形是正方形，在中利用勾股定理可求解．
本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是画出正确图形，分类解决问题．  17.【答案】 【解析】解：如图：过作轴，

的坐标为，
，
，
，
的坐标为，
，
，
，，
，
的坐标为，
同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，

由上可知，点的方位是每个循环，
与第一点方位相同的点在轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第四点方位相同的点在轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为，
，
点的方位与点的方位相同，在轴上，其横坐标为，纵坐标为，
点的坐标是．
故答案为：．
先通过解直角三角形依次求，，，，各点的坐标，再从其中找出规律，然后运用规律即可解答．
本题主要考查了点的坐标的规律探索、解直角三角形等知识点，求出前面个点的坐标并发现规律是解答本题的关键．
 18.【答案】解：

．


． 【解析】先运用乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可；
先提取公因数，然后再运用完全平方公式因式分解即可．
本题主要考查了实数的混合运算、乘方、负整数次幂、零次幂、因式分解等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
 19.【答案】解：，
即，
，
解得：． 【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：这次抽样调查的学生总人数．
答：这次抽样调查的学生总人数为．
组人数为人，
补全图形如下：
．
组所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：．
估计全市名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于小时的有人．
答：估计全市名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于小时的有人．
由组人数及其所占百分比可求出这次抽样调查的学生总人数；
根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，然后补全图形即可；
用乘以组人数所占比例即可解答；
用总人数乘以样本中、、组人数和所占比例即可解答．
本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数是正确解答的关键．
 21.【答案】证明：连接；
，，又，
．
，
，．
．
．
是的切线．
解：，，，
．
，
，
即，
，
，
，
在和中，，，
≌，
． 【解析】要证是的切线，只要连接，再证即可；
由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
本题考查了切线的判定，和解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 22.【答案】解：客车的速度为：千米时，
乙、丙两地之间的距离为：千米，
货车的速度为：千米时，
答：客车的速度为千米时，货车的速度为千米时；
设客车从甲地到达乙地的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
故此时的解析式为：，
当客车在乙地停留了小时时，
设客车从乙地到达丙地的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
故此时的解析式为：，
综上，；
货车从丙地到达乙地所用的时间为：小时，
设货车从乙地到达甲地的函数解析式为：，
把，代入，
得，
解得，
故此时的解析式为：，
，
解得，
故两车在行驶途中相遇的时间为小时；
设相遇前相距千米所用的时间为小时，
根据题意得：，
解得，
设相遇后相距千米所用的时间为小时，
根据题意得：，
解得，
综上，两车在行驶途中相距千米时，所用的时间为小时或小时． 【解析】根据图中相关数据，即可求解；
利用待定系数法，分三种情况，即可分别求解；
首先可求得货车从丙地到达乙地的函数解析式，再与客车到达乙地前的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解；
分两种情况，分别列方程，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，求一次函数的解析式及交点，从函数图表中获取相关信息是解决本题的关键．
 23.【答案】      【解析】证明：如图：延长，与、交于点和点，

正方形，正方形，
，，，
，
，
即，
≌，
、，
，，
，
．
故答案为：，．
解：成立，理由如下：
如图：正方形，正方形，
，，，
即
，
即，
≌，
、，
，
，
．
解：如图：过点作于点，

，，三点在同一条直线上，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
．
如图：

，
，
当，，三点在同一条直线上时，有最大值，
的最大值为为．
故答案为：．
延长，与、交于点和点，根据证明≌，得到、；再由对顶角相等可得说明即可证明结论；
方法同；
如图：过点作于点，先根据题意可知是等腰直角三角形，然后再解直角三角形可得，，，最后根据线段的和差即可解答；
根据三角形的三边关系可得当，，三点在同一条直线上时，有最大值，然后再结合的相关结论即可解答．
本题主要考查了正方形的性质、解直角三角形、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
 24.【答案】解：直线与轴、轴交于点、点，
，，
直线与轴交于点，
，
抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．

，
抛物线的对称轴为，
点在抛物线上，，
当时，抛物线有最小值，即有最小值；
当时，；
当时，，即有最大值．
的取值范围为．

直线与轴交于点，
，
，
解得：，
，
，，，

．
设．
当在上方，
，
，
，即是的中点，
，
解得：，
；
当在下方，
，
，
，
设点为的中点，如图，即是的中点，

，
解得：，
．
，
设点，由为的中点，
，
解得：，
；
综上，点的坐标为或．
解：存在一点使存在以，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：

，，
，
当为菱形一边时，则，
，即，
当为菱形对角线时，则，
设，，
，
，
解得：，
，
．
综上，点的坐标为或或． 【解析】先求得、、三点的坐标，然后代入求得、、的值即可解答；
根据对称轴直线求出对称轴，即可得出最小值，再求出与时的函数值，即可确定取值范围；
先求出点、的坐标，然后再运用勾股定理逆定理说明，设，再分在上方和下方两种情况，分别根据三角形面积和中点的性质进行解答即可；
先求出的长，然后当为菱形一边和对角线两种情况分别画图，再结合菱形的性质、勾股定理即可解答．
本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．