2023年广东省清远市中考数学试卷附答案

这是一份2023年广东省清远市中考数学试卷附答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省清远市中考数学试卷附答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
2．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功．C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（　　）
A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103
4．（3分）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　）

A．43° B．53° C．107° D．137°
5．（3分）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）一元一次不等式组的解集为（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）

A．20° B．40° C．50° D．80°
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x2﹣1＝　 　．
12．（3分）计算：＝　 　．
13．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　 　A．
14．（3分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　 　折．
15．（3分）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16．（10分）（1）计算：+|﹣5|+（﹣1）2023．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式．




17．（7分）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．




18．（7分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）


四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．






20．（9分）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．





21．（9分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）
数据统计表
实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
根据以上信息解答下列问题：

平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．




五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．











23．（12分）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．

2023年广东省清远市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（　　）
A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
【答案】A
【分析】本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．
【解答】解：把收入5元记作+5元，
根据收入和支出是一对具有相反意义的量，
支出5元就记作﹣5元．
故答案为A．
【点评】本题考查负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的含义，进而作答．
2．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（3分）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功．C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（　　）
A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将186000用科学记数法表示为：1.86×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　）

A．43° B．53° C．107° D．137°
【答案】D
【分析】由平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝137°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握性质解解题关键．
5．（3分）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
【解答】解：
＝
＝．
故本题选：C．
【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
6．（3分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（　　）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
7．（3分）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
8．（3分）一元一次不等式组的解集为（　　）
A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4
【答案】D
【分析】求出第一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由不等式x﹣2＞1得：x＞3，
∴不等式的解集为3＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟知解集的规律．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）

A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（3分）计算：＝　6　．
【答案】6．
【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据×＝和＝a（a＞0）进行计算，
【解答】解：方法一：
×
＝×2
＝2×3
＝6．
方法二：
×
＝
＝
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用×＝和＝a（a＞0）进计算．
13．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　4　A．
【答案】4．
【分析】直接将R＝12代入I＝中可得I的值．
【解答】解：当R＝12Ω时，I＝＝4（A）．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．
14．（3分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　8.8　折．
【答案】8.8．
【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设这种商品最多可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以8.8折，
故答案为：8.8．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．
15．（3分）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　15　．

【答案】15．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴＝，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴＝，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴＝，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH
＝（1+4）×6
＝15．
故答案为：15．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16．（10分）（1）计算：+|﹣5|+（﹣1）2023．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式．
【答案】（1）6．
（2）y＝2x+1．
【分析】（1）利用立方根的性质、绝对值的性质以及负数指数幂的性质进行化简计算即可．
（2）将（0，1）与（2，5）代入y＝kx+b解方程组即可．
【解答】（1）解：原式＝2+5﹣1＝6．
（2）解：将（0，1）与（2，5）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝2x+1．
【点评】本题考查了实数的运算，待定系数法求一次函数表达式，正确化简各数，将点的坐标代入后能正确解方程组是解题的关键．
17．（7分）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙骑自行车的速度为0.2km/分．
【分析】设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分，
根据题意得﹣10＝，
解得x＝．
经检验，x＝是原分式方程的解，
答：乙骑自行车的速度为0.2km/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（7分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）

【答案】A、B的距离大约是15.3m．
【分析】连接AB，取AB中点D，连接CD，根据AC＝BC，点D为AB中点，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°＝，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）．
【解答】解：连接AB，取AB中点D，连接CD，如图，

∵AC＝BC，点D为AB中点，
∴中线CD为等腰三角形的角平分线（三线合一），AD＝BD＝AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，
sin∠ACD＝，
∴sin50°＝，
∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），
答：A、B的距离大约是15.3m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．

【答案】（1）见作图；（2）6﹣2．
【分析】（1）由基本作图即可解决问题；
（2）由锐角的余弦求出AE的长，即可得到BE的长．
【解答】解：（1）如图E即为所求作的点；
（2）∵cos∠DAB＝，
∴AE＝AD•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．

【点评】本题考查基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是掌握基本作图，由锐角的余弦求出AE的长．
20．（9分）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．

【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1C1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，
则AB＝＝，
AC＝BC＝＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
21．（9分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）
数据统计表
实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
根据以上信息解答下列问题：

平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36
（1）填空：a＝　19　；b＝　26.8　；c＝　25　；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

【答案】（1）19，26.8，25．（2）选择B路线更优．
【分析】本题考查数据的分析，数据的集中和波动问题，
（1）平均数，中位数，众数的计算．
（2）方差的实际应用．
【解答】解：（1）求中位数a首先要先排序，
从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10个数，
中位数在第5和6个数为18和20，
所以中位数为＝19，
求平均数b＝＝26.8，
众数c＝25，
故答案为：19，26.8，25．
（2）小红统计的选择A线路平均数为22，选择B线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差63.2＞6.36，相比较B路线的波动性更小，所以选择B路线更优．
【点评】本题考查数据的波动与集中程度，解题的关键是能够平均数，中位数，众数进行准确的计算，理解方差的意义，并进行作答．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．

【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）①证明过程详见解答；
②．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA＝OC，从而OE∥A′C，从而得出AA′⊥CA′；
（2）①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG＝OF＝OE，从而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，进而得出∠EAO＝30°，从而；
②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，从而AA′＝CA′，进而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，从而得出AE＝OE，OD＝OA＝AE，设OA＝OE＝x，则OD＝OA＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得出＝1，从而求得x2＝，进而得出⊙O的面积．
【解答】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
（2）①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由（1）知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO＝，
∴tan30°＝，
∴；
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
设OA＝OE＝x，则OD＝OA＝，
∴DE＝OD﹣OE＝（）x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
＝1，
∴x2＝，
∴S⊙O＝π•OE2＝．

【点评】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23．（12分）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
【答案】（1）当旋转角为22.5°时，OE＝OF；
（2）FC的长为；
（3）S关于n的函数表达式为．
【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
（2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论；
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．
【解答】解：（1）当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF；

（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，

∴，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COG＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴，
∴，
∴FC的长为；

（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四点共圆，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，

又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴，
＝，
，
＝，
＝，
＝，
∴，
又∵△ANQ为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴S关于n的函数表达式为．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．