2023届初三升高一数学衔接讲义 第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）

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2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲   一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式  一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：(1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根：(2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；   (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；      (4) 方程无实数根．【解析】： (1) ；  (2) ； (3) ；  (4) ．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ）A．35 B．30 C．26 D．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：由①得：，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有实数根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根； （2）解：∵x，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为10．【例2】已知实数、满足，试求、的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知，，满足，，，则的值为（    ）A． B．5 C．6 D．【答案】B【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可．【详解】解：，，，，，，，，．故选：B．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵与是“同类方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴当时，取得最大值为2023．故答案为：．2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：，   韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：【知识点精讲】【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.【答案】．（1），  （2）   【解析】（1）由，，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当时，即：因此：（2）【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值.【解析】：是一元二次方程的不等实根则有原式=【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范围．【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．(1)∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；(2)T＝＋，======2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴且∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2．【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．【详解】（1）假设存在实数k，使成立．∵一元二次方程的两个实数根∴，又，是一元二次方程的两个实数根∴∴，但 ．∴不存在实数k，使成立．（2）∵∴要使其值是整数，只需能整除4，∴，，，注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．所以的值为【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：，记，那么______．【答案】100【分析】根据得到，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程的两根分别为a，b，∴，∴，∴，，，∴，故答案为：100．