2023届初三升高一数学衔接讲义 第四讲 常见不等式的解法（精讲）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第四讲   常见不等式的解法（精讲）（原卷版）

【知识点透析】

1、一元二次不等式的解法

（1）定义：只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 且系数 不等于零的不等式.

（2）一般形式：

（3）解法：

注：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零。[来源:学科网Z【知识点精讲】

【例1】 解下列一元二次不等式

（1）         （2）           

（3）         （4）　

【变式1】．（2021·湖北孝感·九年级阶段检测）如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________．

【变式2】．解关于x的不等式

【例2】 不等式的解为，求关于的不等式的解

【变式1】（2023·高一课时检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．

【例3】  已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

【变式】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ）

A．     B．    C．或    D．或

2、简单分式不等式的解法

形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）.

通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数.

（I）           （II）  

对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解.

【知识点精讲】

【例4】 解不等式：．

【例5】解不等式．

【变式1】（2023·全国·高三专题检测）解关于的不等式．

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式

(1)   (2)

3、简单的高次不等式的解法

【知识点精讲】

【例6】解不等式：；

列表法，解题步骤是：

①将不等式化为形式（各项的系数化为正数），令，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分……；

②按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．

穿根法，解题步骤是：

①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间．

注意：奇穿偶不穿

【例7】 解不等式：

.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ．

【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______.

【变式2】．求下列不等式的解集

（1）；

（2）.

4、绝对值不等式的解法

表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合.

【知识点精讲】

【例8】  求下列不等式的解集.

（1）               （2）  

 （3）                    （4）

【变式1】、不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【变式2】．不等式≥1的实数解为________．