所属成套资源:2023届初三升高一数学衔接(讲义+练习)
2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系(精讲)
展开
这是一份2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系(精讲),文件包含第七讲集合间的基本关系精讲解析版docx、第七讲集合间的基本关系精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第七讲 集合间的基本关系(精讲)(解析版)【知识点透析】一、子集与真子集的定义与表示1、子集:如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).2、真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)【注意】(1)子集是刻画两个集合之间关系的,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如:A={1,2},B={1,3},因为2∈A,但2∉B,所以A不是B的子集;同理,因为3∈B,但3∉A,所以B也不是A的子集.二、空集1、定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅,并规定:空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上,结合子集和真子集的有关概念,可以得到:(1)空集只有一个子集,即它本身;(2)空集是任何非空集合的真子集.2、0,{0},∅,{∅}的关系 ∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合;0是实数∅中不含任何元素;{0}含一个元素0∅不含任何元素;{∅}含一个元素,该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质(1)规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A.(3)如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C.(4)如果AB,BC,则AC.【注意】空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视1,造成思考问题不全面.四、子集的个数如果集合A中含有n个元素,则有(1)A的子集的个数有2n个.(2)A的非空子集的个数有2n-1个.(3)A的真子集的个数有2n-1个.(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.五、韦恩图在数学中,我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合,这种图叫做Venn图。【注意】(1)表示集合的韦恩图是是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线。(2)维恩图的有点是形象直观,缺点是公共特征不明显,画图时要注意区分大小关系。【知识点精讲】题型一 集合间关系的判断【例题1】.(2022·四川绵阳高一单元测试)已知集合,则下列选项中说法不正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断选项B,根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.【详解】由题意得,集合.所以,B错误;由于空集是任何集合的子集,所以A正确;因为,所以C、D中说法正确.故选:B.【例题2】.(2022·山东泰安高一检测)已知集合,集合与的关系如图所示,则集合可能是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可得,由选项即可判断.【详解】解:由图可知:,,由选项可知:,故选:D.【变式1】(2022•宝鸡市高一检测模拟)已知集合,则下列关系正确的是( )A. B. C. D.∅【答案】C【解析】因为集合,所以根据子集的定义可知,故选:C.【变式2】(2022•山东济宁模拟)已知集合,则下列关系中正确的是 A. B. C. D.【答案】C【解析】集合,中,0是一个元素,元素与集合之间是属于或者不属于关系,故错误;中,不成立,不对,故错误;中,空集是任何集合的子集,故正确;中,集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系,故错误;故选C.题型二 子集、真子集、空集的概念【例3】(2022·南京市第十三中学高一月考)已知集合,则集合A的真子集个数为( )A.16 B.15 C.8 D.7【答案】.D【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为:.故选:D.【例题4】.(2022·河南郑州高一期末)定义,,,设集合A={0,1},集合B={1,2,3},则A*B集合的真子集的个数是( )A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【分析】先求出集合A*B={1,2,3,4},由公式求出集合A*B的真子集的个数【详解】∵A={0,1},B={1,2,3},∴A*B={Z|Z=xy+1,x∈A,y∈B}={1,2,3,4},则A*B集合的真子集的个数是24﹣1=15个,故选:B【例5】(2023·渝中·重庆巴蜀中学高三月考)已知集合,非空集合满足:(1);(2)若,则,则集合的个数是( )A.7 B.8 C.15 D.16【答案】.C【解析】满足条件的集合应同时含有或或或0,又因为集合非空,所以集合的个数为个【变式1】(2023·江苏无锡高一专题检测)已知集合,则满足条件的A的个数为( )A.16 B.15 C.8 D.7【答案】A【分析】根据题意A中必须有1,2这两个元素,因此A的个数应为集合4,5,的子集的个数.【详解】解:因为,集合A中必须含有1,2两个元素,可以含有元素3,4,5,6,因此满足条件的集合A为,2,,2,,2,,2,,2,3,,2,3,,2,3,,2,4,,2,4,,2,5,,2,3,4,,2,3,4,,2,3,5,,2,4,5,,2,3,4,5,共16个.故选:A.【变式2】(2022·福建省南安市柳城中学高一月考)已知集合,则集合A的真子集个数为( )A.32 B.4 C.5 D.31【答案】.D【解析】解:因为,且的约数有1,2,3,4,6,12,当时,,则,故不符题意,舍去,当时,,则,故符合题意,当时,,则,故符合题意,当时,,则,故符合题意,当时,,则,故符合题意,当时,,则,故符合题意,所以,所以集合A的真子集个数为.故选:D.题型三 与空集有关的问题【例题6】.(2022·湖北武汉一中高一期中)以下四个选项中,所表示的集合不是空集的是A. B. C. D.【答案】B【分析】根据空集含义逐一判断.【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合,不是空集;因为无实数解,所以;故选:B【例7】(2023·江苏高一专题练习)已知集合,且,则实数m的取值范围是___________.【答案】.【解析】解:分两种情况考虑:①若B不为空集,可得:,解得:,,且,解得:,②若B为空集,符合题意,可得:,解得:.综上,实数m的取值范围是.【变式1】(2022·陕西宝鸡高一课时练习)下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】.B【解析】①错,空集是任何集合的子集,有∅⊆∅;②错,如∅只有一个子集;③错,空集不是空集的真子集;④正确,因为空集是任何非空集合的真子集.故选:B.【变式2】(2022·银川一中高一课时练习)下列四个集合中,是空集的是( )A. B.C. D.【答案】.D【解析】选项A,;选项B,;选项C,;选项D,,方程无解,.选:D.题型四 集合关系的应用【例8】.(2020·广西·象州县中学高一阶段检测)已知,,,且不是空集,(1)求集合的所有可能情况; (2)求、的值.【答案】(1)或或;(2)或或.【解析】(1)解出集合,根据且可得出所有可能的集合;(2)根据(1)中集合所有可能的情况,结合韦达定理可求得、的值.【详解】(1),且,则或或;(2)若,由韦达定理可得,解得;若,由韦达定理可得,解得;若,由韦达定理可得,解得.综上所述,或或.【例9】.(2021·河北保定高一检测)设,集合,,且,求实数x,y 的值【答案】.或【解析】由得 : 解得 或 【例题10】.(2022·江苏常州高一月考)设集合,,且.(1)求实数的取值范围;(2)当时,求集合A的子集的个数.【答案】(1){或} (2)【分析】(1)按照集合是空集和不是空集分类讨论求解;(2)确定集合中元素(个数),然后可得子集个数.(1)当即时,,符合题意;当时,有,解得.综上实数的取值范围是或;(2)当时,,所以集合的子集个数为个.【变式1】.(2022·银川一中高一课时检测)已知集合,,若,则实数组成的集合为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】若,所以或,解出的值,将的值代入集合,检验集合的元素满足互异性.【详解】因为,所以,解得,或,解得,当时,,,,满足题意.当时,,不满足集合的互异性.当时,,,若,满足题意.当时,,,若,满足题意.故选:C.【变式2】.(2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中)已知M={x| 2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a1}.(1)若MN,求实数a的取值范围;(2)若MN,求实数a的取值范围.【答案】..(1)空集;(2).【解析】(1)由得:无解;故实数的取值范围为空集;(2)由得:当时,即;当时,,故;综上实数的取值范围为.题型五:根据集合的相等关系求参数【例题11】.(2023·山西大同高三专题模拟)已知集合,则与集合相等的集合为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】求出每个选项的集合,即可比较得出.【详解】对A,,故A错误;对B,,故B错误;对C,,故C错误;对D,,故D正确.故选:D.【例12】(2022·四川绵阳高一专题练习)(1)已知集合,当,求的值;(2)已知集合,,若,求实数的取值范围. 【答案】..(1)1;(2).【解析】(1)若,则,,不合题意;若,则或,当时,,当时,,不合题意;若,则或,都不合题意;因此,所以.(2),,∴借助数轴可得,的取值范围为.【变式1】.(2022·江苏高一检测)已知集合与集合{a2,a+b,0}是两个相等的集合,求a2 020+b2 020的值.【答案】..a2 020+b2 020=1【解析】由a,,1组成一个集合,可知a≠0,a≠1,由题意可得=0,即b=0,此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2,a,0,因此a2=1,解得a=-1 (a=1不满足集合中元素的互异性,舍去),因此a=-1,且b=0,所以a2 020+b2 020=(-1)2 020+0=1.【变式2】.(2023·湖北武汉高一检测)(1)已知集合A={x|mx2﹣2x+3=0,m∈R},若A有且只有两个子集,求m的值.(2)若a,b∈R,集合,求b﹣a的值.【答案】..(1)0或;(2)2.【解析】(1)集合A={x|mx2﹣2x+3=0,m∈R},若A有且只有两个子集,则方程mx2﹣2x+3=0有且只有一个根,当m=0时,满足,当△=4﹣12m=0,即m=,满足,故m的值为0或,(2)a、b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则a≠0,即a+b=0,则b=﹣a,此时{1,0,a}={0,﹣1,b},则a=﹣1,b=1,∴b﹣a=2.
相关试卷
这是一份2023届初三升高一数学衔接讲义 第十讲 全称量词与存在量词(精讲),文件包含第十讲全称量词与存在量词精讲解析版docx、第十讲全称量词与存在量词精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共14页, 欢迎下载使用。
这是一份2023届初三升高一数学衔接讲义 第九讲 充分必要条件(精讲),文件包含第九讲充分必要条件精讲解析版docx、第九讲充分必要条件精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共12页, 欢迎下载使用。
这是一份2023届初三升高一数学衔接讲义 第八讲 集合的基本运算(精讲),文件包含第八讲集合的基本运算精讲解析版docx、第八讲集合的基本运算精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。