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    2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系(精讲)

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    2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系(精讲)

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    2023年初高中衔接素养提升专题讲义   集合间的基本关系(精讲)(解析版)【知识点透析】一、子集与真子集的定义与表示1、子集:如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB(BA),读作“A包含于B(或“B包含A)2、真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB(BA)【注意】1)子集是刻画两个集合之间关系的,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如:A{1,2}B{1,3},因为2A,但2B,所以A不是B的子集;同理,因为3B,但3A,所以B也不是A的子集.二、空集1、定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅,并规定:空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上,结合子集和真子集的有关概念,可以得到:1)空集只有一个子集,即它本身;2)空集是任何非空集合的真子集.20{0},∅,{}的关系 ∅与0∅与{0}∅与{}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合;0是实数∅中不含任何元素;{0}含一个元素0∅不含任何元素;{}含一个元素,该元素是∅关系0∉∅{0}{}或∅∈{}三、子集的性质1)规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有∅⊆A.2)任何一个集合A都是它本身的子集,即AA.3)如果ABBC,则AC.4)如果ABBC,则AC.【注意】空集是任何集合的子集,因此在解AB(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视1,造成思考问题不全面.四、子集的个数如果集合A中含有n元素,则有1A的子集的个数有2n2A的非空子集的个数有2n1个.3A的真子集的个数有2n1个.4A的非空真子集的个数有2n2个.五、韦恩图在数学中,我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合,这种图叫做Venn图。【注意】1)表示集合的韦恩图是是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线。2)维恩图的有点是形象直观,缺点是公共特征不明显,画图时要注意区分大小关系。知识点精讲】题型 集合间关系的判断【例题1.(2022·四川绵阳高一单元测试)已知集合,则下列选项中说法不正确的是(    A B C D【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断选项B,根据集合与集合的关系判断选项ACD.【详解】由题意得,集合.所以B错误;由于空集是任何集合的子集,所以A正确;因为,所以CD中说法正确.故选:B【例题2.(2022·山东泰安高一检测已知集合,集合的关系如图所示,则集合可能是(       A B C D【答案】D【解析】由图可得,由选项即可判断.【详解】解:由图可知:由选项可知:故选:D.变式1(2022宝鸡高一检测模拟)已知集合,则下列关系正确的是(    A        B        C        D【答案】C【解析】因为集合所以根据子集的定义可知,故选:C.【变式22022•山东济宁模拟)已知集合,则下列关系中正确的是  A B C D答案】C【解析】集合中,0是一个元素,元素与集合之间是属于或者不属于关系,故错误;中,不成立,不对,故错误;中,空集是任何集合的子集,故正确;中,集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系,故错误;故选C题型二  子集、真子集、空集的概念【例32022·南京市第十三中学高一月考)已知集合,则集合A的真子集个数为(    A16 B15 C8 D7【答案】D【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为:故选:D【例题4.(2022·河南郑州高一期末定义,设集合A{01},集合B{123},则A*B集合的真子集的个数是(  )A14 B15 C16 D17【答案】B【分析】先求出集合A*B{1234},由公式求出集合A*B的真子集的个数【详解】∵A{01}B{123}A*B{Z|Zxy+1xAyB}{1234}A*B集合的真子集的个数是24115个,故选:B【例52023·渝中·重庆巴蜀中学高三月考)已知集合,非空集合满足:(1;(2)若,则,则集合的个数是(    A7 B8 C15 D16【答案】C【解析】满足条件的集合应同时含有0,又因为集合非空,所以集合的个数为【变式12023·江苏无锡高一专题检测已知集合,则满足条件的A的个数为(       A16 B15 C8 D7【答案】A【分析】根据题意A中必须有12这两个元素,因此A的个数应为集合45的子集的个数.【详解】解:因为集合A中必须含有12两个元素,可以含有元素3456因此满足条件的集合A2222232323242425234234235245234516个.故选:A【变式22022·福建省南安市柳城中学高一月考)已知集合,则集合A的真子集个数为(    A32 B4       C5   D31【答案】D【解析】解:因为,且的约数有1234612时,,则,故不符题意,舍去,时,,则,故符合题意,时,,则,故符合题意,时,,则,故符合题意,时,,则,故符合题意,时,,则,故符合题意,所以所以集合A的真子集个数为.故选:D题型三 与空集有关的问题【例题6.(2022·湖北武汉一中高一期中)以下四个选项中,所表示的集合不是空集的是A   B  C D【答案】B【分析】根据空集含义逐一判断.【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合,不是空集;因为无实数解,所以故选:B【例72023·江苏高一专题练习)已知集合,且,则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】解:分两种情况考虑:①若B不为空集,可得:,解得:,解得:②若B为空集,符合题意,可得:,解得:.综上,实数m的取值范围是.变式12022·陕西宝鸡高一课时练习)下列命题:空集没有子集;任何集合至少有两个子集;空集是任何集合的真子集;A,则A≠∅.其中正确的个数是(    A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】①错,空集是任何集合的子集,有∅⊆∅;②错,如∅只有一个子集;③错,空集不是空集的真子集;④正确,因为空集是任何非空集合的真子集.故选:B变式22022·银川一中高一课时练习)下列四个集合中,是空集的是(    A BC D【答案】D【解析】选项A;选项B选项C;选项D,方程无解,.:D.题型四 集合关系的应用【例82020·广西·州县中学高一阶段检测已知,且不是空集,1)求集合的所有可能情况; 2)求的值.【答案】(1;(2.【解析】(1)解出集合,根据可得出所有可能的集合2)根据(1)中集合所有可能的情况,结合韦达定理可求得的值.【详解】(12)若,由韦达定理可得,解得,由韦达定理可得,解得,由韦达定理可得,解得.综上所述,.【例9.(2021·河北保定高一检测,集合,且,求实数xy 的值【答案】【解析】 : 解得       【例题10.(2022·江苏常州高一月考设集合,且(1)求实数的取值范围;(2)时,求集合A的子集的个数.【答案】(1){}   (2)【分析】(1)按照集合是空集和不是空集分类讨论求解;2)确定集合中元素(个数),然后可得子集个数.1)当时,,符合题意;时,有,解得综上实数的取值范围是2)当时,,所以集合的子集个数为【变式1.(2022·银川一中高一课时检测已知集合,若,则实数组成的集合为(       A B C D【答案】C【分析】若,所以,解出的值,将的值代入集合,检验集合的元素满足互异性.【详解】因为,所以,解得,解得时,,满足题意.时,,不满足集合的互异性.时,,若,满足题意.时,,若,满足题意.故选:C.变式22020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中)已知M={x| 2≤x≤5} N={x| a+1≤x≤2a1}.1)若MN求实数a的取值范围;2)若MN求实数a的取值范围.【答案】..(1)空集;(2.【解析】1)由得:无解;故实数的取值范围为空集;2)由得:时,即时,,故综上实数的取值范围为.题型五:根据集合的相等关系求参数【例题11.(2023·山西大同高三专题模拟已知集合,则与集合相等的集合为(       A BC D【答案】D【分析】求出每个选项的集合,即可比较得出.【详解】对A,故A错误;B,故B错误;C,故C错误;D,故D正确.故选:D.【例122022·四川绵阳高一专题练习)1)已知集合,当,求的值;2)已知集合,若,求实数的取值范围. 【答案】..(11;(2.【解析】1)若,则,不合题意;,则,当时,,当时,,不合题意;,则,都不合题意;因此,所以.2,∴借助数轴可得的取值范围为.变式12022·江苏高一检测)已知集合与集合{a2a+b0}是两个相等的集合,求a2 020+b2 020的值.【答案】..a2 020+b2 020=1【解析】a1组成一个集合,可知a0a1,由题意可得0,即b0,此时两集合中的元素分别为a01a2a0,因此a21,解得a=-1 (a1不满足集合中元素的互异性,舍去),因此a=-1,且b0,所以a2 020b2 020(1)2 02001.变式2.(2023·湖北武汉高一检测)(1)已知集合A{x|mx22x+30m∈R},若A有且只有两个子集,求m的值.2)若ab∈R,集合,求ba的值.【答案】..(10;(22.【解析】1)集合A{x|mx22x+30mR},若A有且只有两个子集,则方程mx22x+30有且只有一个根,m0时,满足,当△=412m0,即m,满足,故m的值为02abR,集合{1a+ba}{0b}a0,即a+b0,则b=﹣a此时{10a}{0,﹣1b}a=﹣1b1,∴ba2.

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