2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系（精讲）

这是一份2023届初三升高一数学衔接讲义 第七讲 集合间的基本关系（精讲），文件包含第七讲集合间的基本关系精讲解析版docx、第七讲集合间的基本关系精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第七讲   集合间的基本关系（精讲）（解析版）【知识点透析】一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.（4）如果AB，BC，则AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．四、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．五、韦恩图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。【注意】（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。【知识点精讲】题型一 集合间关系的判断【例题1】．（2022·四川绵阳高一单元测试）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.【详解】由题意得，集合．所以，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为，所以C、D中说法正确．故选：B．【例题2】．（2022·山东泰安高一检测）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可得，由选项即可判断.【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.【变式1】(2022•宝鸡市高一检测模拟）已知集合，则下列关系正确的是（    ）A．        B．        C．        D．∅【答案】C【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.【变式2】（2022•山东济宁模拟）已知集合，则下列关系中正确的是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选C．题型二  子集、真子集、空集的概念【例3】（2022·南京市第十三中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】．D【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为：．故选：D．【例题4】．（2022·河南郑州高一期末）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，故选：B【例5】（2023·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（    ）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】．C【解析】满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合的个数为个【变式1】（2023·江苏无锡高一专题检测）已知集合，则满足条件的A的个数为（       ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】A【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，5，的子集的个数．【详解】解：因为，集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6，因此满足条件的集合A为，2，，2，，2，，2，，2，3，，2，3，，2，3，，2，4，，2，4，，2，5，，2，3，4，，2，3，4，，2，3，5，，2，4，5，，2，3，4，5，共16个．故选：A．【变式2】（2022·福建省南安市柳城中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）A．32 B．4       C．5   D．31【答案】．D【解析】解：因为，且的约数有1，2，3，4，6，12，当时，，则，故不符题意，舍去，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，当时，，则，故符合题意，所以，所以集合A的真子集个数为.故选：D．题型三 与空集有关的问题【例题6】．（2022·湖北武汉一中高一期中）以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是A．   B．  C． D．【答案】B【分析】根据空集含义逐一判断.【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合，不是空集；因为无实数解，所以；故选：B【例7】（2023·江苏高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.【答案】．【解析】解：分两种情况考虑：①若B不为空集，可得：，解得：，，且，解得：，②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.综上，实数m的取值范围是.【变式1】（2022·陕西宝鸡高一课时练习）下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】．B【解析】①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．故选：B．【变式2】（2022·银川一中高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（    ）A． B．C． D．【答案】．D【解析】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.题型四 集合关系的应用【例8】．（2020·广西·象州县中学高一阶段检测）已知，，，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.【详解】（1），且，则或或；（2）若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得.综上所述，或或.【例9】．（2021·河北保定高一检测）设，集合，，且，求实数x，y 的值【答案】．或【解析】由得 : 解得    或   【例题10】．（2022·江苏常州高一月考）设集合，，且．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．【答案】(1){或}   (2)【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当即时，，符合题意；当时，有，解得．综上实数的取值范围是或；（2）当时，，所以集合的子集个数为个．【变式1】．（2022·银川一中高一课时检测）已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.【详解】因为，所以，解得，或，解得，当时，，，，满足题意.当时，，不满足集合的互异性.当时，，，若，满足题意.当时，，，若，满足题意.故选：C.【变式2】．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x| 2≤x≤5}， N={x| a+1≤x≤2a1}.（1）若MN，求实数a的取值范围；（2）若MN，求实数a的取值范围.【答案】．．（1）空集；（2）.【解析】（1）由得：无解；故实数的取值范围为空集；（2）由得：当时，即；当时，，故；综上实数的取值范围为.题型五：根据集合的相等关系求参数【例题11】．（2023·山西大同高三专题模拟）已知集合，则与集合相等的集合为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：D.【例12】（2022·四川绵阳高一专题练习）（1）已知集合，当，求的值；（2）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】．．（1）1；（2）.【解析】（1）若，则，，不合题意；若，则或，当时，，当时，，不合题意；若，则或，都不合题意；因此，所以.（2），，∴借助数轴可得，的取值范围为.【变式1】．（2022·江苏高一检测）已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.【答案】．．a2 020+b2 020=1【解析】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.【变式2】．（2023·湖北武汉高一检测）（1）已知集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有两个子集，求m的值．（2）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值．【答案】．．（1）0或；（2）2.【解析】（1）集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有两个子集，则方程mx2﹣2x+3＝0有且只有一个根，当m＝0时，满足，当△＝4﹣12m＝0，即m＝，满足，故m的值为0或，（2）a、b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，则a≠0，即a+b＝0，则b＝﹣a，此时{1，0，a}＝{0，﹣1，b}，则a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2.