江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷
展开2022-2023学年南京师范大学附属中学高一5月月考
一.单项选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数满足,其中为虚数单位,为的共轭复数,则=( )
A. B.1 C.2 D.4
2. 若圆锥的母线长为1,其侧面展开图的面积为,则这个圆锥的体积为
A. B. C. D.
3. 已知,则=( )
A. B. C. D.
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为,半径为的球,若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度,且能直接观测到,设点的维度(与赤道平面所成角的度数)的最大值为,则( ).
A. B. C. D.
5. 点分别在空间四边形的边上,若,则下列说法中正确的是( )
A.直线与一定平行 B.直线与一定相交
C.直线与可能异面 D. 直线与一定共面
6. 如图,已知正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为
A. B. C. D.
7. 如图,在正方体中,分别是的中点,记与所成的角为,与平面所成的角为,二面角平面角为,则( )
A. B. C. D.
8. 如图,在菱形中, ,为的中点,将沿直线翻折成△,连接和,为的中点,则在翻折过程中,下列说法中错误的是
A.
B.不存在某个位置,使得 平面
C.存在某个位置,使得
D.与的夹角为
二.多项选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得4分,部分选对得得2分,有选错的得0分)
9. 对于直线和平面,下列命题为真命题的有
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,则
10.已知函数,若有且仅有一个实数,使得,则实数的值可能为( )
A. B.1 C. D.3
11.在正方体中,点是线段上的动点,若过三点的平面将正方体截为两个部分,则所得截面的形状可能为( )
A.等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
12.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体,拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形,如图,在拟柱体中,平面平面,分别是的中点,为四边形内一点,设四边形的面积的面积为,四边形的面积为,平面与平面的距离为,下列说法中正确的有( )
A.直线与是异面直线
B.四边形的面积是的面积的4倍
C.挖去四棱锥与三棱锥后,拟柱体剩余部分的体积为
D.拟柱体的体积为
三.填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分
13. 已知向量,,且向量与共线,则实数 .
14. 已知垂直于所在的平面,3,4,2,则点到平面的距离为_____________
15.四面体每组对棱的棱长均相等,分别为,2,,则该四面体的体积为_______.
16.已知二面角的大小为,是等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,=2,则四面体的外接球的体积为 .
四.解答题:本题共3小题,共36分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (12分)
如图,在直三棱柱中,,分别为,的中点,.求证:
(1)平面;
(2).
18. (12分)
为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形.并修建两条小路(路的宽度忽略不计),其中千米,千米
,是以为直角顶点的等腰直角三角形.设,,.
(1)当时,求小路的长度(千米);
(2)当草坪的面积最大时,求此时小路的长度(千米).
19. (12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,交于点,是上一点
且平面
(1)证明:为的中点;
(2)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,请给出点的位置,并证明,若不存在,请说明理由.
2022-2023学年南京师范大学附属中学高一5月月考
一.单项选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数满足,其中为虚数单位,为的共轭复数,则=( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】
【解析】
2. 若圆锥的母线长为1,其侧面展开图的面积为,则这个圆锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】
【解答】解:圆锥的侧面展开图扇形的弧长,
设底面圆的半径为,
则有,所以,
于是圆锥的高为,
该圆锥的体积为:.
故选:.
3. 已知,则=( )
A. B. C. D.
【答案】
【解答】
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为,半径为的球,若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度,且能直接观测到,设点的维度(与赤道平面所成角的度数)的最大值为,则( ).
A. B. C. D.
【答案】
【解答】解:设表示卫星,过作截面,截地球得大圆,过作圆的切线,,线段交圆于,如图,
则,,,,
则
5. 点分别在空间四边形的边上,若,则下列说法中正确的是( )
A.直线与一定平行 B.直线与一定相交
C.直线与可能异面 D. 直线与一定共面
【答案】
【解析】因为,所以直线与一定共面
6. 如图,已知正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为
A. B. C. D.
【答案】
【解答】解:根据图形,已知正方体的棱长为2,易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半,
即为,
如图,
在正八面体中连接,,,可得,,互相垂直平分,为正八面体的中心,平面,平面,则,,.
在中,,
则该正八面体的体积,
该八面体的表面积
7. 如图,在正方体中,分别是的中点,记与所成的角为,与平面所成的角为,二面角平面角为,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】设正方形边长为1,取中点,连接,
连接
连接
8. 如图,在菱形中, ,为的中点,将沿直线翻折成△,连接和,为的中点,则在翻折过程中,下列说法中错误的是
A.
B.不存在某个位置,使得 平面
C.存在某个位置,使得
D.与的夹角为
【答案】
【解答】解:设,对于:因为四边形为菱形,,
所以,
则是等等边三角形,
又因为为中心,所以,即,
因为,
又因为,平面,平面,
所以平面,
因为平面,
所以,故正确;
对于:连接交为,连接,
因为为的中点,
所以不存在某个位置,使得平面,故正确;
对于:因为(或补角)就是与所成的角,
又,,
所以,
因为,
所以,
与所成角为,故正确;
二.多项选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得4分,部分选对得得2分,有选错的得0分)
9. 对于直线和平面,下列命题为真命题的有
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若 ,则
【答案】
【解析】对于A. 若 ,则不一定垂直,错误
对于B. 若 ,则,又,所以平面内存在与平行的直线,设为直线,故可推出,因为,所以,正确
对于C.若 ,则或,错误
对于D.若,则直线分别与平面的法向量平行,故,正确
10.已知函数,若有且仅有一个实数,使得,则实数的值可能为( )
A. B.1 C. D.3
【答案】
【解析】,因为在上有且仅有一个实数满足,则,解得,所以或
11.在正方体中,点是线段上的动点,若过三点的平面将正方体截为两个部分,则所得截面的形状可能为( )
A.等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
【答案】
【解析】当点与重合时,过三点的平面是等边三角形,当点与重合时,过三点的平面是矩形,当点与中点重合时,过三点的平面是等腰梯形
12.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体,拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形,如图,在拟柱体中,平面平面,分别是的中点,为四边形内一点,设四边形的面积的面积为,四边形的面积为,平面与平面的距离为,下列说法中正确的有( )
A.直线与是异面直线
B.四边形的面积是的面积的4倍
C.挖去四棱锥与三棱锥后,拟柱体剩余部分的体积为
D.拟柱体的体积为
【答案】
【解析】对于A. 平面平面,,,共面,不共面,故直线与是异面直线,正确
对于B.设,到的距离为,到距离为由上问可知,,所以四边形是梯形,因为分别是的中点,所以,所以,正确
对于C.,故挖去四棱锥与三棱锥后,拟柱体剩余部分的体积为,正确
故D错误
三.填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分
13. 已知向量,,且向量与共线,则实数 .
【答案】
【解答】解:向量,,向量与,
向量与共线
可得:,
解得.
故答案为:.
14. 已知垂直于所在的平面,3,4,2,则点到平面的距离为_____________
【答案】
【解答】解:垂直于所在的平面,,,,
可得.
底面三角形的面积为:
棱锥是体积为:
点到平面的距离为.
,
可得:
,
15.四面体每组对棱的棱长均相等,分别为,2,,则该四面体的体积为_______.
【答案】
【解析】.四面体每组对棱的棱长均相等,分别为,2,,所以可将其补充为一个三个面上对角线长度分贝为,2,的长方体,所以长方体三边长分别为,,1,所以四面体体积为
16.已知二面角的大小为,是等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,=2,则四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【解答】解:如图,取的中点,连接,,
由题意,2,,
所以,,
所以为二面角的平面角,
所以,
因为,是等边三角形,且,所以,
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形,所以1,
过点作与平面垂直的直线,则球心在该直线上,
设球的半径为,连接,,可得,
在中,,
利用余弦定理可得,
所以,
解得,所以其外接球的体积为.
故答案为:.
四.解答题:本题共3小题,共36分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (12分)
如图,在直三棱柱中,,分别为,的中点,.求证:
(1)平面;
(2).
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解答】证明:(1)在直三棱柱中,,分别为,的中点,
,,,
平面,平面,
平面.
解:(2)在直三棱柱中,是的中点,.
,
直三棱柱中,平面,平面,
,
又,平面,
平面,.
18. (12分)
为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形.并修建两条小路(路的宽度忽略不计),其中千米,千米
,是以为直角顶点的等腰直角三角形.设,,.
(1)当时,求小路的长度(千米);
(2)当草坪的面积最大时,求此时小路的长度(千米).
【答案】(1)5;(2)1
【解答】
解:(1)在中,
由,
又,
.
,
由,
解得:,
是以为直角顶点的等腰直角三角形,
,且,
,
在中,25,
解得:5.
(2)由(1)得:,
此时,,且,
当时,四边形的面积最大,即,此时,,
所以,即1.
19. (12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,交于点,是上一点
且平面
(1)证明:为的中点;
(2)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,请给出点的位置,并证明,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,为中点时,平面平面
【解析】(1)连接,设,连接,
因为平面,平面,平面平面,
所以,又底面为平行四边形,所以为的中点,
所以为的中点.
(2)存在,为中点时,平面平面
因为为中点,为的中点,所以
,由(1)可知,因为
所以,平面平面
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期5月月考数学试题含答案: 这是一份2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期5月月考数学试题含答案,共21页。试卷主要包含了设复数,则的虚部是,在中,内角、满足,则的形状是,在中,角,,所对的边分别为,,,已知向量,且,则,下列说法正确的是,设,,,则,,的大小关系为,已知向量,,则下列命题正确的是等内容,欢迎下载使用。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附答案): 这是一份江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附答案),共9页。试卷主要包含了选择题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,直接设边,计算其比例即可.,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。