精品解析：福建省泉州市安溪一中、惠安一中、泉州实验中学、养正中学2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）
展开安溪一中、惠安一中、泉州实验中学、养正中学
2023年春季高一年期中联考试卷
考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可求得结果.
【详解】终边过点，，.
故选：B.
2. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的性质，结合诱导公式，对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，，
又，所以，故C错误；
对于D，因为，，
又，所以，即，故D正确.
故选：D.
3. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知求得，，结合求值即可.
【详解】由题设，，又，，
所以，，
又.
故选：D
4. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可.
【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，
故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意可得：，解得，
故，可得，即，
可知的图象过点，即，
∵，则，
∴，解得.
故选：A.
5. 中，，，则（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出、，即可得的形状.
【详解】∵因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则在的平分线上，
又，
∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，且，
又∵，则，则，
又，所以，
所以，可得，所以是等腰直角三角形.
故选：D.
6. 如图，某同学运用数学知识测算东西塔塔尖，的距离，该同学选择地面上一点为观测点，测得西塔的塔尖仰角为，东塔的塔尖仰角30°，且，，，则塔尖、的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，，再根据余弦定理即可求解.
【详解】由题得，在中，，
，
在中，，
，
则在中, 由余弦定理可得
所以.
故选：A
7. 不等式，对于任意，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由任意可知，从而原问题等价于对于恒成立，利用换元法令，不等式可整理为在恒成立，得，利用分离常数法结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】因为对于，任意恒成立，
而，所以对于恒成立，
设，
则不等式即为在恒成立，
即在恒成立.
而在上单调递减，所以当时，有最小值3，
，即实数的最大值是3.
故选：C
8. 如图，中，，，与交于，设，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】，
，
同理：
，
因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，
所以，解得，
所以，即为.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有二个项是符合题目要求，作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分）
9. 设复数，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部是 C. 是纯虚数 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，复数不能比较大小，可判断；对于B，根据复数的虚部的定义可判断；对于C，根据纯虚数的定义可判断；对于D，计算即可判断.
【详解】对于A，复数不能比较大小，A错；
对于B，的虚部是，B对；
对于C，不是纯虚数，C错；
对于D，，D对.
故选：BD
10. 已知向量，，则（ ）
A. 与夹角为60° B.
C. 在上的投影向量是 D. 在上的投影向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出，，即可计算夹角判断A项；计算即可判断B项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项.
【详解】由已知可得，，.
对于A项，因为，，
令与夹角为，所以，
所以与夹角不为60°，故A项错误；
对于B项，因为，所以，故B项正确；
对于C项，因为，， ，
所以在上的投影向量是，故C项正确；
对于D项，，，
所以在上的投影向量是，故D项错误.
故选：BC.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 中，若，则
B. 锐角中，不等式恒成立
C. 中，若，则是等腰直角三角形
D. 中，，则是等腰三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；B.利用以及余弦函数的性质来判断；C.先利用正弦定理边化角，然后利用倍角公式变形得关系，进而可得三角形的形状；D.利用平面向量数量积的运算法则得到，从而得以判断.
详解】对于A：，，由正弦定理可得，A正确；
对于B：在锐角中，，，，则，
，B正确；
对于C：在中，若，
由正弦定理可得，，
又，，，或，
则或，故是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D：，，
即，
，即，，故是直角三角形，
显然，并不能确定否为等腰三角形，D错误.
故选：AB.
12. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数的一条对称轴
B.
C. 在上有2023个实数解
D. 若，则函数在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】由图象可知周期，从而求得，可判断B；由求得，令求解可判断A；利用余弦函数的性质结合周期可判断C；由复合函数的单调性可判断D.
【详解】由图可知，最小正周期，所以，
对于B，因为，所以，
所以，即，
又，所以，此时，B错误；
对于A，令，则，，
当时，，A正确；
对于C，因为，，
所以在上有2个实数解，
又的最小正周期，
所以在上有2022个实数解，
又，
所以在上有1个实数解，
故在上有2023个实数解，C正确；
对于D，，所以，
当时，，
又，即，所以
所以，
令，则，所以，
而在此区间不单调，所以函数在上不单调，D错误.
故选：AC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）
13. 复数为纯虚数，则实数的值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：0
14. 函数（）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由，，求出，再根据题意可得，从而可的答案.
【详解】因为，，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15. 如图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，，均视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，记，（为测量单位），测得，的长度为______.（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，在中，利用余弦定理求得，，在中利用余弦定理即可求解．
【详解】根据题意作出示意图，如图所示，
由题意，
在中，
即，
，又，解得，
，
在中，，
故答案为：．
16. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，点为六边形上不同于的任意一点.若数量积（）的结果构成集合，则集合的元素最少有______个；的取值范围是______.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根据正六边形的对称性得到数量积（）的最少结果个数，再以圆心为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，从而得到直线的方程，设，得到，结合条件得到的取值范围，即可求解.
【详解】由正六边形的对称性知：当点在，在时，数量积（）的结果个数最少，
即，，，
所以集合的元素最少有3个.
如图所示，以圆心为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以直线的斜率，即直线的方程为，
设，则，
，，
，，
，
所以，
因为在上，则（），
则，
又，则，
所以取值范围是，
故答案为：3；.
【点睛】思路点睛：根据平面几何图形，选择适当的原点和坐标轴建立平面直角坐标系，将要探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求解：
（1）化简：；
（2）画出函数在区间上的图象.
0 |
| |||||
0 |
|
| ||||
0 | 1 | 0 |
【答案】（1）-1； （2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）按照基本诱导公式结合奇变偶不变，符号看象限法则化简即可；
（2）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．
【小问1详解】
=；
【小问2详解】
计算填表：
0 | ||||||
0 | ||||||
0 | 1 | 0 |
描点，连线，可得图象如下：
18. 已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
【答案】（I）4；（II）.
【解析】
【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；
（II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解.
【详解】法1：（I）
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
；
（II）
，
．
法2：
（I）；
（II），∴，
∵，，
∴与重合，
∴．
19. 的三角形，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将方程转化为，再利用正弦定理进行边化角，转化之后化简求解即可.
（2）由余弦定理和基本不等式求出的范围，代入面积公式可得面积最大值.
【小问1详解】
（1）因为，所以，
由正弦定理得
，
即，
又，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
再由余弦定理，
所以 ，当且仅当时，等号成立，
故，
所以（当且仅当时等号成立），
所以面积的最大值为.
20. 已知函数（）的最小正周期为.
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，再将图象向左平移个单位，得到函数的图象，是否存在？对于任意的，，当时，恒成立，若存在，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）不存在.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由即可求解.
（2）由三角函数的平移变换可得，设，将不等式化为在区间上单调递减，只需即可.
【小问1详解】
，
又，，解得，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，
设
，
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
因为，
所以，
，，，，
当时，，则不存在，
当时，，则不存在，
所以不存在，对于任意的，，当时，恒成立.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为在区间是单调递减函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力.
21. 在酷暑来临之前，安溪某公司计划在该集团一处院子修建避暑山庄，以作为合作伙伴“四大集团”的集中研讨地.院子门前两条夹角为（即）的小路，之间要修建一处弓形花园，弓形花园弦长，弓形花园顶点，且，记.
（1）用表示的长度；
（2）要在点修建喷泉，为获得更好的观景视野，如何规划花园两条小路，长度，才能使喷泉与山庄的距离最大？
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；
（2）在中，利用正弦定理求得，在中，由余弦定理可知，，化简后利用正弦函数的性质可求得最大值.
【小问1详解】
在中，由正弦定理可知，
则，
【小问2详解】
，，
，
在中，由余弦定理可知，
，
，
.
当时，即时，
取得最大值，
此时，
，
即当时，喷泉与山庄之间的距离最大.
22. 已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）设函数，记最大值为，最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式化简函数，从而得解；
（2）利用（1）中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再利用对数函数性质与恒成立问题的解法求解即可.
【小问1详解】
因为，定义域为，
所以当，即时，函数取得最小值为.
【小问2详解】
由（1）得，
，
，
则，
令，则，
因此，
因为函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，
所以上，函数单调递增，故单调递增，
则，
因为，即有，解得，
而函数，即在定义域内不存在零点，
显然，即，，
且由得，
所以函数的定义域为，
于是原问题转化为函数在上无零点，即的最大值小于1恒成立，
显然当时，，有，解得，
综上：，故实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；
如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数.
