四川省内江市威远中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com威远中学校高2022届高一下期第一次月考

数学 (文科)

一、选择题（每题5分，共60分）

1.的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

观察角度并变形，利用两角和与并公式计算.

【详解】.

故选：A

【点睛】考查了诱导公式和两角和与差公式的逆用，属于容易题.

2.下面说法正确的是（    ）

A. 平面内的单位向量是唯一的

B. 所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C. 所有的单位向量都是共线的

D. 所有单位向量的模相等

【答案】D

【解析】

【分析】

利用单位向量的概念：模为1的向量为单位向量，逐一分析判断.

【详解】对A：单位向量有无数个，错误；

对B：单位向量的起点不一定在同一点，终点的集合不一定是一个单位圆，错误；

对C：单位向量的方向不一定相同或相反，故C错误；

对D:由单位向量的定义，正确.

故选：D

【点睛】本题考查了对单位向量概念的理解，属于容易题.

3.在中，是的中点，则(  )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的加减运算和中线向量的表示，计算可得所求向量.

【详解】在中，为边上的中线，为的中点，

所以

，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加减运算法则，以及向量共线时的表示方法，再有就是中线向量的表示，属于简单题目.

4.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)

A.  B. 1＋ C. 2 D. 2(tan 18°＋tan 27°)

【答案】C

【解析】

,故选C

5.已知，，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

观察角度之间的联系得，再用两角差的正弦公式计算.

【详解】由，又，则，则,

则.

故选：C

【点睛】本题考查了角变换技巧和两角和与差公式，属于容易题.

6.已知，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.

【详解】因为，

又因为，所以，则有

故选A.

【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.

7.若，则=（  ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．

【详解】tanα，

∴cos2α+2sin2α

．

故选C．

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．

8.下列各式中，不正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对选项分别运用两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等变形判断正误.

【详解】对A：由，得，A正确；

对B：

，B正确

对C： ，C错误.

对D:

，D正确

故选：C

【点睛】本题综合考查了两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等的应用.

9.若点M是的重心，则下列各向量中与共线的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

，，由M是的重心可得，，即可选出答案.

详解】，不与共线

，不与共线

因为点M是的重心，所以，，

所以，与共线

，不与共线

故选：B

【点睛】若点是的重心，则有

10.已知是所在平面内一点，且满足，则为

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。

【详解】

因为，，

因为，所以，

因为，所以，

由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。

【点睛】本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。

11.如图在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】解：∵＋＋＝，

∴＋＋-=，

即＋＋+=

∴＋+=，

2+=，

∴点P在线段AC上，

且|AC|=3|PA|

那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是．

故选 A．

12.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B．

考点：1、平面向量的加减运算；2、向量共线．

二、填空题(每题5分，共20分)

13.若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.

【详解】因为，所以.

点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.

14. 的值__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

15.定义运算，若，，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.

【详解】根据题干得到

，，

，，代入上式得到结果为：

故答案为.

【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.

16.已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

建立直角坐标系，求出的坐标，得出的大小，设的夹角为，则可以求出点到直线的长度为，从而得出的面积.

【详解】解：以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则

因为,

所以，

故，

，

设的夹角为，

，

所以，，

点到直线的长度为，

的面积为.

【点睛】本题考查了向量的数量积、向量在平面几何中的应用，向量数量积问题常见的解题方法为坐标法、基底法等等.

三、解答题（总70分）

17.已知为锐角，

（1）求的值

（2）求的值

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由α为锐角，，由同角关系可得和，再根据正切的二倍角公式即可求出的值；

（2）由于 ，利用两角差的正切公式即可求出，再根据同三角函数的基本关系可得 ，最后利用两角差的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）由α为锐角，，得.

所以

所以

（2）

由题意及同三角函数的基本关系可得

所以.

【点评】本题主要考查了三角函数同角的基本关系，以及两角差的正弦和正切公式，以及正切的二倍角公式，属于基础题.

18.设两个非零向量与不共线

（1）若，，，求证：三点共线.

（2）试确定实数k，使和反向共线.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）运用向量共线定理，证得与共线，即可得证；

（2）由题意可得存在实数，使，展开后，运用方程思想，即可得到所求值．

【详解】（1）证明：∵，，，

∴.

∴、共线，

又∵它们有公共点，∴、、三点共线

（2）∵与反向共线，∴存在实数，使

即，

∴

∵，是不共线的两个非零向量，

∴，

∴，∴，

∵，∴

【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

19.已知函数图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）设，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由图象可得，由周期公式可求，从而可求函数的解析式；

（2）由，可求，又由，可求，结合角的范围可求，由两角差的正弦函数公式即可得解．

【详解】（1）由图象可知，

（2）， 

又.

.

【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．

20.已知函数

（1）求函数的单调递减区间和对称轴及对称中心；

（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.

【答案】（1）. （2）

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角的三角函数公式化简得，再由正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得出的单调递减区间． （2）根据函数图象平移的公式，算出，再由利用正弦函数的图象与性质，即可算出在上的值域．

【详解】（1）.∵，

由，解出，

所以的减区间为.

令所以对称中心

（2）.因为将左移得到横坐标缩短为原来的，得到 

∵， 

，所以所求值域为.

【点睛】本题给出三角函数 的表达式，求它的单调递减区间与函数在闭区间上的值域．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．

21.如图所示，在中，，，与相交于点.

（1）用，表示，；

（2）若，证明：，，三点共线.

【答案】（1）,；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据题中所给的条件，可以求得，从而有，将代入，整理求得结果，同理求得；

（2）根据条件整理得到，从而得到与共线，即，，三点共线，证得结果.

【详解】（1）解：因为，所以 ，

所以 .

因为，所以，所以.

（2）证明：因为，所以 .

因为 ，所以，即与共线.

因为与的有公共点，所以，，三点共线.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，利用向量共线证得三点共线，属于简单题目.

22.如图， 是一块半径为 ，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧上，记 .

(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；

(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.

【答案】（1）       （2）时，S取得最大值

【解析】

【分析】

先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案

化简函数，利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值

【详解】（Ⅰ）因为

，，

所以 ，

（Ⅱ）

因为，所以

所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值

【点睛】本题主要考查运用三角函数解答矩形面积，关键是用含有的表达式来表示出矩形的长和宽，在表示过程中运用三角函数解三角形，在求最值时将其转化为用辅助角化简题，然后求解，此类题目解答的方法还是需要掌握．