四川省宜宾市南溪区第二中学校2019-2020学年高一下学期月考数学试题 Word版含解析

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.已知向量与向量共线，则实数的值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据向量共线公式得到答案.

【详解】向量与向量共线，则，故.

故选：.

【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.

2.已知数列，则数列的第4项为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数列的通项公式，求得的值.

【详解】依题意.

故选：B.

【点睛】本小题主要考查根据数列的通项公式求某一项的值，属于基础题.

3.已知向量， .若向量与垂直，则（    ）

A. 6 B. 3 C. 7 D. ﹣14

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．

【详解】解：已知向量，，若向量与垂直，

则，求得，

故选：C．

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．

4.在等差数列中，若，，则（    ）

A. 10 B. 20 C. 25 D. 30

【答案】C

【解析】

分析】

根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得.

【详解】在等差数列中，，，

根据等差数列通项公式，设公差为，

可知，解得，

故

，

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

5.在等差数列中，已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

设等差数列的公差为d，

则，

∴．选C．

6.等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知,,把代入即可求得d的范围

【详解】依题意可知,,

,

,

故选：D

【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题

7.在中，、、分别为角、、的对边，它的面积为，则角等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果.

【详解】因为，且，

故可得，即，

又因为，故可得.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属综合基础题.

8.已知中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理求出C的三角函数值，结合角的关系求出B的三角函数值，求解即可得到面积.

【详解】由正弦定理，，故，则，而，故，

则，

故的面积为

故选：C

【点睛】此题考查解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理在解三角形中的应用，利用三角恒等变换求三角函数值根据面积公式求得面积.

9.设等差数列的前n项和为，已知，，则（    ）

A. 85 B. 97 C. 100 D. 175

【答案】C

【解析】

【分析】

由，可得，解得，可得．

【详解】解：，，解得，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10.数列的前项和为，若，则=（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：，两式相减得

，，，故选B．

考点：已知前项和求通项．

11.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于（ ）

A. － B. － C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：由余弦定理得

考点：1．余弦定理；2．向量的数量积

12.已知外接圆的半径，且.则周长的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由及倍角公式可得，，再由余弦定理可得，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出的取值范围即可得到答案.

【详解】由题意，，即，可化为

，即，因为，所以，

即，，设的内角，，，的对边分别为，，

，由余弦定理得，，因为（当且仅当时取“=”），所

以，即，又因为，所以

，故，则，又因为，所以

，即.故周长的取值范围为

.

故选：C

【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.在中，若，则的形状是________.

【答案】直角三角形

【解析】

【分析】

由正弦定理的可得，，结合勾股定理可判断三角形的形状．

【详解】解：，

由正弦定理的可得

即

则为直角三角形，

故答案为：直角三角形．

【点睛】本题主要考察了三角形的正弦定理及勾股定理的应用，属于基础题．

14.是边长为1的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则________.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求的值．

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则，，，；

，，；

所以，；

所以．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，属于基础题．

15.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质可把项的比转化为前项和的比．

【详解】∵数列，都是等差数列，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列中，．

由此有．

16.如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且，则C，D之间的距离为________km.

【答案】

【解析】

分析】

直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．

【详解】解：如上图所示：在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，

所以，，，，

所以在中，利用三角形内角和定理解得，所以为等腰三角形，

故，，

所以在中，利用余弦定理，

解得．

在中，利用正弦定理，解得，

在中利用余弦定理，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚.

17.已知，.

（1）求向量与的夹角；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用向量夹角公式计算得到答案.

（2），再根据向量垂直公式计算得到答案.

【详解】（1），，，

设向量与的夹角为，则，

∴，即向量与夹角为.

（2），由，可得，

∴，解得.

【点睛】本题考查了向量夹角，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

18.设等差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的前项和及使得最小的的值.

【答案】（1）（2）；时，取得最小值

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.

（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，

得

解得

数列的通项公式为

（2）由（1）知

时，取得最小值.

【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

19.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，.

（1）求角B、C；

（2）求的面积.

【答案】（1）或，；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理，求得，进而可求得角B、C；

（2）由（1）和的面积公式，即可求得三角形的面积.

【详解】（1）在中，，，，

由正弦定理，可得，解得，

又，或，

又，,，

.

（2）由（1）和的面积公式，

可得 .

【点睛】本题主要考查了正弦定理、以及三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

20.已知等差数列的前n项和为，且满足：，.

（1）求等差数列的通项公式；

（2）求数列前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）通过设等差数列的首项为、公差为，联立、可知首项、公差，进而可得结论；

（2）通过（1）裂项可知，进而裂项相消法求和即得结论．

【详解】解：（1）设等差数列的首项为、公差为，

，，

，

解得：，

；

（2）由（1）得：，

所以

．

【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

21.如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S.其中，且.

（1）求角B的大小和的值；

（2）设D为B边上的一点且，若的面积为14，求AD的长度.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理及三角形面积公式可得从而求出，根据同角三角函数的基本关系，求出，最后由两角和的正弦公式计算可得；

（2）由三角形面积公式及正弦定理可得，从而得到，最后由余弦定理计算可得；

【详解】解：（1）由题以及

得，

则，而，则得

则有，

而，，

则

（2）由得

①

而②

结合①，②可得，

从而有，则由余弦定理，

即

解得

【点睛】本题考查正弦、余弦定理及三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.

22.设函数，其中向量，.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，，求b，c的值.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用向量的数量积和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．

（2）利用函数的关系式，进一步求出的值，再利用余项定理和关系式的变换求出结果．

【详解】解：（1）向量， ，

则函数，

所以函数的最小正周期为：，

令：，

解得： ，

所以函数的单调递增区间为： .

（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，

即：，解得：，

又：，

故：，

所以：，

故：.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．