天津市经济技术开发区第二中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

2020-2021第一学期开发区二中高一数学第一次月考试题

（考试时间：100分钟，满分：100分）

一.选择题：（共9小题，每小题4分，共36分）

1. 已知四个关系式：，，，，其中正确的个数（    ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据关系式，逐个判断相关元素是否属于相应的集合，即可得解.

【详解】对，满足，正确；

对，是有理数，故错误；

对，是自然数，正确；

对，空集中没有元素，错误.

所以有两个正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查了等符号的含义，考查了概念的理解记忆，属于基础题.

2. 命题p：存在实数，使方程有实数根，则命题“”是（    ）

A. 存在实数，使得方程无实根

B. 不存在实数，使得方程有实根

C. 对任意的实数，使得方程有实根

D. 至多有一个实数，使得方程有实根

【答案】B

【解析】

【分析】

根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据进行求解;

【详解】因为命题p：存在实数，使方程有实数根，

所以命题“”是对任意的实数，使得方程无实根，

即不存在实数，使得方程有实根，

故选：B

【点睛】本题主要考查了含量词命题的否定，考查了对命题的辨析，属于中档题

3. 设，则“”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先分别解不等式和，根据即可得到答案.

【详解】由题知：，解得.

，解得.

因为，

所以“”是“” 必要不充分条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了二次不等式，属于简单题.

4. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

对于A，C，D均可举出反例说明其不正确，对于B依据不等式的性质可得解.

【详解】当时，A显然不成立；

若时，则，即B正确；

当时，，显然C不成立；

当时，，，显然D不成立；

故选：B.

【点睛】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题.

5. 不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解即可.

【详解】不等式等价于

即，解得

故选：C

【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题.

6. 若不等式的解集是，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知方程的根为，结合根与系数的关系得出，从而得出的值.

【详解】由题意可知方程的根为

由根与系数的关系可知，

解得

即

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.

7. 已知，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的，代入进行比较即可.

【详解】取特殊值：，，则，，

故，

故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题.

8. 已知，，若，则取值的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

解方程得集合，由得，结合方程可得可能为，，，分别代入解出即可.

【详解】因为，

由于得，结合可知：

当，即时，满足题意；

当，即时，满足题意；

当，即时，满足题意；

故的取值的集合为，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了由集合关系求参数的值，考查了分类讨论思想，属于中档题.

9. 满足条件的集合的个数是（    ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得集合中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即的个数应为集合，5，的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案．

【详解】解：根据题意，满足题意条件的集合中必须有1，2，3这三个元素，

且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，

则的个数应为集合，5，的非空真子集的个数，

集合，5，有3个元素，有个非空真子集；

故选：C．

点睛】本题考查集合间的基本关系，以及非空真子集的个数的运算．

二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

10. 设集合，集合，若，则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】

由，可知：，代入即可得解.

【详解】由，可知：，

即的解为或，

代入可得，

故答案为：.

【点睛】本题考查了集合的运算，考查了补集的运算求参数值，属于概念的考查，是基础题.

11. 已知在时取得最小值，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式求得且仅当时，取得最小值，再结合题意，得到，即可求解.

【详解】因为，则，

当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值，

又由在时取得最小值，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

12. 已知，，且，则最大值为__________

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题意，由基本不等式的性质分析可得，计算即可得答案.

【详解】由于，且，

所以，当且仅当，时取等号，

故的最大值为3，

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查基本不等式的性质与应用，关键是对的变形，属于基础题.

13. 若对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

讨论时和时不等式恒成立的条件，从而求出实数的取值范围.

【详解】时，不等式化为，不满足条件；

时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足，

即，解得或；

∴实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，属于基础题.

14. 设集合，，若，则的取值范围为________；若，则的取值范围为________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

求出集合，由和分别求出参数的范围.

【详解】，

由，则

若，则

故答案为：（1）       （2）

【点睛】本题考查解二次不等式，考查根据集合的交、并求参数的范围，属于基础题.

三.解答题（共5大题，共49分）

15. 已知集合，，求

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

解一元二次不等式可得集合，，再进行交集、并集、补集的运算即可得结果.

【详解】因为，或

（1）或；

（2）；

（3）或，，

故.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间交集、并集、补集的混合运算，属于基础题.

16. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）

（4）.

【答案】（1）或（2）（3）（4）

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）可化，

解得或，

即该不等式的解集为或；

（2）可化为，

即，解得，

即该不等式的解集为；

（3）可化为，解得，

即该不等式的解集为，

（4）可化，

即，解得，

即该不等式的解集为.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

17. 已知集合，集合.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）;（2）或.

【解析】

【分析】

（1）先求出，的两根分别为，根据，即可得出的值；

（2）对于集合若,,对方程的根分类讨论，即可得出结论.

【详解】解:由，得或，故,

（1）因为，则.

（2）因为，所以,得或

若，则；

若，由（1）得则，

综上，或．

【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平.

18. （1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最小值；

（3）已知，求的最小值.

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

【分析】

（1）由，化简，结合基本不等式，即可求解；

（2）由，可得，化简，结合基本不等式，即可求解；

（3）由，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）由，可得，

所以，

当且仅当时，即等号成立，即的最小值为.

（2）由，可得，

所以，

当且仅当时，即等号成立，即的最小值为.

（3）由，则，

当且仅当时，即时等号成立，即的最小值.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

19. 解下列关于的不等式：

（1）（）；

（2）（）；

（3）（）

【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解.

【解析】

【分析】

（1）因为，直接求解即可；

（2）对进行讨论，即可得解；

（3）对以及对分别进行讨论即可得解.

【详解】（1）由可得：，

又因为，解得：,

所以原不等式的解集为；

（2），

当时，，无实数解，

当时，，的无实数解，

当时，，的解为，

综上，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为

（3）由可得，

当时，的解为，

当时，的解为或，

当时，的解为，

综上，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为.

【点睛】本题考查了含参的一元二次方程的求解，解题方法是：首先对二次项系数进行讨论，其次是对根的判别式进行讨论，然后再讨论根的分布，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.