新疆石河子第二中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

2023届高一数学第一次月考

时间：120分钟，满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知集合Q，先求其补集，再与P求交集.

【详解】解：或，那么，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了交、补集的混合运算，属于基础题.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由零次幂底数不为0，二次根式的根号下不为负以及分母不为零列出不等式组，求解即可．

【详解】解：要使函数有意义，

则，

解得且，

函数的定义域为

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题.

3. 下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求出每一个选项中两个函数的定义域、对应关系、和值域是否相同，即可得出结论.

【详解】对A： ；函数定义域不同，不是相同的函数；故A不正确；

对B：函数对应法则不同，不是相同的函数；故B不正确；

对C． ；两个函数定义域、对应法则相同，为相同函数；故C正确；

对D．；函数定义域不同，不是相同的函数．故D不正确；

故选：C

【点睛】本题考查相同的函数的判断方法，三要素相同即是相同函数，属于基础题.

4. 如图所示的图形中，可以表示以为定义域，以为值域的函数的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

根据函数的定义可判断．

【详解】解：A选项，函数定义域为，但值域不是；
B选项，函数定义域不是，值域为；
D选项，集合中存在与集合中的两个对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.

5. 下列函数在其定义域上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

容易看出，选项A，B，D的函数在其定义域内都没有单调性，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．

【详解】，和在定义域上都没有单调性，

选项A，B，D都错误；

一次函数在定义域R上是增函数，C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数、一次函数和二次函数，以及函数的单调性，属于基础题.

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7. 设则的大小关系是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

8. 已知函数为R上的偶函数，当时，单调递减，若，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性以及单调性将原不等式转化为，解出即可.

【详解】因为函数为上的偶函数，

所以可转化为，

又因为当时，单调递减，

所以，

即，

解得．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性解抽象函数的不等式，属于基础题.

9. 已知函数为上的奇函数且单调递增，若，则的值范围是（    ）

A.  B. （0,1） C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数定义域以及函数单调性奇偶性，求解不等式即可.

【详解】由题意，为上的奇函数且在单调递增，

故，

解得.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性求解不等式，属基础题.

10. 函数在闭区间上有最大值3，最小值为2， 的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

本题利用数形结合法解决，作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，欲使函数在闭区间，上的上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．

【详解】解：作出函数的图象，如图所示，

当时，最小，最小值是2，当时，，

函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，

则实数的取值范围是，．

故选：．

【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．

11. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先分段考察函数各个分段的单调性，再确定函数在区间衔接点附近的大小，最后综合得出的取值范围．

【详解】解：由函数是上的增函数，

则，解得，

即实数的取值范围是，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的判断，涉及一次函数和二次函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．

12. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知函数满足的三个条件求出，进而求出的函数值，又由函数为非减函数，求出的值，即可得到的值．

【详解】函数在上为非减函数，①，③，，

令，所以有．

又因为②，，

令，可得，，，

令，可得，

令，可得．

当时都有，且，

，；

，

故选：D．

【点睛】本题主要考查抽象函数、新定义的应用，充分利用题意中非减函数性质是解题的关键，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数且的图象恒过定点__________．

【答案】

【解析】

【分析】

令解析式中的指数求出x的值，再代入解析式求出y的值，即可求得结果.

【详解】令，得，代入得，，

因此函数图象过定点．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题.

14. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，从而，由此能求出结果．

【详解】，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

15. 函数，则它的值域为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

令，将问题转化为二次函数求解即可.

【详解】由已知，

令，则，

所以，

则当即时，y取得最小值，

当即时，y取得最大值13，

所以函数的值域为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数性质，将看成一个整体是解题的关键，属于基础题.

16. 函数在区间上的最大值为8.则它在这个区间上的最小值是________.

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得，令，因为，当时，则，则

，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为

，解得，所以函数的最小值为；当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，解得，所以函数的最小值为，所以函数的最小值为.

考点：函数的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知集合，集合.

（1）当时，求，;

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）应用集合交、并、补的定义即可求出结果；

（2）根据已知条件得，对集合是否为空集讨论，即可得结论.

【详解】（1）当时，

∴

∴

（2）∵  

当时，

当时

解得

 ∴.

综上所述：实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查集合间的关系，要注意对特殊的集合进行讨论，属于基础题.

18. 计算：（1）；

（2）已知且，求x的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接根据指数的运算性质计算即可；

（2）分为和两种情形，根据指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）

．

（2）当时，为减函数，

则不等式可化为：，即，

解得：，

当时，为增函数，

则不等式可化为：，即，

解得：

【点睛】本题主要考查了指数的运算性质，指数函数的单调性，属于中档题.

19. 已知函数．

（1）判断在上的单调性，并加以证明；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用定义法证明在上的单调性；

（2）根据（1）中的单调性，直接计算出的最大、最小值，从而的值域可求.

【详解】在上单调递增．

证明：由题可得，

设为中的任意两个值，且，

则，

，

，即，

在上单调递增．

由知在上单调递增，

函数的值域为．

【点睛】本题考查用定义法证明函数的单调性并求函数的值域，难度较易.用定义法证明函数单调性的一般步骤：假设、作差、变形、判号、下结论.

20. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）求函数的解析式；

（2）画出函数的图象，并写出函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为.

【解析】

分析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式分析可得时，有，综合即可得答案；

（2）由（1）的结论，作出函数的图象，据此分析可得函数的区间，即可得答案.

【详解】（1）根据题意，因为函数是定义在R上的奇函数，

所以对任意的都有成立，

当时，，即 x，

所以，

（2）根据题意，，其图象如图：

由图知函数的单调递增区间为，

函数的单调递减区间为.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性求出函数的解析式，属于中档题.

21. 已知函数，且．

（1）求m的值；

（2）证明的奇偶性；

（3）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）1；（2）奇函数；（3）.

【解析】

【分析】

（1）将4代入解析式即可得结果；

（2）由和的关系可得奇偶性；

（3）判断函数的单调性，利用分离参数思想求出最值即可.

【详解】（1），

，解得．

（2）证明：其定义域为．

，

函数是奇函数．

（3）函数在上单调递增；

函数上单调递增．

当时，取得最小值，．

不等式在上恒成立，

．

．

实数a的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，利用最值解决恒成立问题，属于中档题.

22. 已知函数，且．

（1）求不等式的解集；

（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由得，代入不等式，令，转化为一元二次不等式解出即可；

（2）利用分离参数思想，利用二次函数思想求出最值即可.

【详解】（1）由，得，所以，

即，即， 

 令，得，即，

因为，所以，即，所以，

所以原不等式的解集为．

（2），即，

所以，

当时，取得最小值

因为对恒成立，所以，

即实数m的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了利用整体代换思想解一元二次不等式，利用最值解决恒成立问题，属于中档题.