四川省眉山市仁寿第一中学北校区2022-2023学年高二文科数学下学期5月期中试题（Word版附解析）

仁寿一中北校区高二下期中考试数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，60分）

1. 复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点在复平面内位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算求复数的代数形式，根据共轭复数的定义求，根据复数的几何意义确定在复平面上的对应点的坐标，由此确定其象限.

【详解】因为，

所以，

所以在复平面上的对应点的坐标为，点位于第三象限.

故选：C.

2. 已知函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数运算法则直接求解即可.

【详解】.

故选：A.

3. 如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，

则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，

故所求的概率为．

故选：B.

4. 已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）

A. 2 B. 1 C. －1 D. －2

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的定义即可得到答案.

【详解】由题意，，所以.

故选：D.

5. 已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ）

A. 4 B.  C. 8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用代入法，结合复数模计算公式进行求解即可.

另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，

所以，

解得，所以；

另解：因为复数是关于x的方程的一个根，

所以复数也是关于x的方程的一个根，

所以有

解得，所以.

故选：D

6. 如图所示的程序框图，能使输入的值与输出的值相等的值个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由题得函数的解析式为，再分类讨论解方程求出的值即可求得结果.

【详解】由题意可知，函数的解析式为.

当时，，令，即，解得或，均合乎题意；

当时，，令，即，解得，合乎题意；

当时，，令，即，解得，舍去；

综上所述，的取值为、或.

故选：C.

7. 某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（    ）

A 中位数70 B. 众数75 C. 平均数68.5 D. 平均数70

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.

【详解】频率为

因为最高小矩形的中点横坐标为，显然众数是75，故B正确；

的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；

平均数，所以C正确.

故选:D.

8. 如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.

【详解】由函数的图象可知，函数的单调性为：增—减—增—减，故导函数的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数的图象可能是选项A.

故选：A

【点睛】本题考查导函数与原函数的关系，考查识图能力，属于基础题．

9. 已知函数．则下列结论中正确是（    ）

A. 函数既有最小值也有最大值 B. 函数无最大值也无最小值

C. 函数有一个零点 D. 函数有两个零点

【答案】C

【解析】

【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.

【详解】，，，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

故函数有最大值，无最小值，AB错误，

设，则恒成立，函数单调递增，

且，故函数有一个零点，C正确，D错误.

故选：C

10. 已知函数，以下判断正确的是（    ）

①有两个极值点；

②有三个零点；

③点是曲线的对称中心.

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足的关系式即可判断③.

【详解】由得，令得，且当和时， ，当时，，所以均是的极值点，故有两个极值点，故①正确，

由①知，是的极大值点，且， ，所以只有一个零点，故②错误，

又，所以，故点是曲线的对称中心，所以③正确，

故选:C

11. 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，将不等式变形为，根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

,

所以，函数为奇函数；

，

所以函数在上单调递增，

因为，所以，

所以，，解得.

故选：A.

【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：

（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；

（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；

（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.

12. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；构造函数，由及单调性可得，则可得.

【详解】构造函数，，则，

得在上单调递减，又，

则，即.

构造函数，则.

令，则在上单调递增.

又注意到，，

则，即.

故，即.

综上所述，.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.

二、填空题（共4小题，2分）

13. 在极坐标系中，点，，则线段的长为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段的长即可．

【详解】由已知，，

线段的长为．

故答案为：．

14. 某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为的样本，将数据按分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则__________，要从日支出在的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在中被抽取的人数为__________．

【答案】    ①. ##    ②. 2

【解析】

【分析】根据频率之和为1可求得a的值，再运用分层抽样中抽样比不变可求得结果.

【详解】因为，

所以，

又因为内和内的样本个数比例为，

根据分层抽样可知，日支出在中被抽取的人数为，

故答案为：；2.

15. 一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．

【答案】60

【解析】

【分析】根据，利用导数法求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

令，得，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，

故答案为：60

16. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

【答案】e

【解析】

【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．

【详解】解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），

与曲线C：g（x）＝切于点（，），

∴2，

化简可得，2，

∴

∵2，

a，

设h（x）（x＞0），则h′（x），

∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，

∴h（x）max＝h（），

∴实数a的的最大值为e，

故答案为e．

【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．

三、解答题（共6小题，17题10分，18-22，每题12分，共70分）

17. 网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式.为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的列联表如下：

（1）从这100位市民中随机抽取一位，试求该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；

（2）请说明能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？（已知）

[参考公式：（其中）]

【答案】（1）   

（2）能在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．

【解析】

【分析】（1）由列联表和古典概率公式可得所求值；

（2）计算出卡方，即可判断．

【小问1详解】

由列联表可得，每周网络购物不满次的男性的概率；

【小问2详解】

由题意可得，，

故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．

18. 设

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数的极大值为，求函数在上的最小值．

【答案】（1）单调递增区间为和；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值.

【小问1详解】

，

由得或，
所以的单调递增区间为和；

【小问2详解】

由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以在上的最小值为．

19. 已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

（1）求n的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b.记“”为事件A，

①求事件A的概率；

②在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立”的概率.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

【分析】（1）由可得答案；

（2）①用列举法和古典概型概率的计算公式可得答案；

②事件B等价于恒成立，可以看做平面中的点，由几何概型可得答案.

【详解】（1）依题意，所以；

（2）①将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A，B，标号为2的小球记为2，

则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：共12种，事件A包含4种：，所以；

②因为的最大值为4，所以事件B等价于恒成立，

可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域，

事件B所构成的区域，

则.

20. 已知函数．

（1）若在上单调递增，求的取值范围．

（2）求的单调区间.

【答案】（1）   

（2）答案见详解

【解析】

【分析】（1）求导，分和讨论可得；

（2）根据（1）中结论可得单调区间.

【小问1详解】

的定义域为，，

当时，，在单调递增，满足题意；

当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.

综上，的取值范围为.

【小问2详解】

由（1）可知，当时，在单调递增，

当时，在单调递增，

令，解得，在单调递减.

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

21. 如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：

（1）依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系?（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.

相关公式：

回归方程中，，.

【答案】（1）0.95，可用线性回归模型拟合与的关系   

（2），40.3（吨）.

【解析】

【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2）先求出回归方程，求出当时值，即为预测值．

【小问1详解】

，，

因为，，，

所以，

所以可用线性回归模型拟合与的关系.

【小问2详解】

∵，

，，

∴.

∴关于的线性回归方程为，

将代入线性回归方程可得，，

∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.

22. 已知函数，（，为自然对数的底数）.

（1）求函数的极值；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）极大值为，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；

（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.

【小问1详解】

定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，无极小值.

【小问2详解】

由得：，在上恒成立；

令，则；

令，则，

在上单调递增，又，，

，使得，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，

，，

则实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.