江苏省盐城市伍佑中学2023届高三高考热身考试数学试题（含解析）

江苏省盐城市伍佑中学2023届高三高考热身考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合,，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数 ，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，与是方程的两个根，则（    ）

A． B． C． D．或

4．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（    ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）

A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26

5．若，则被8整除的余数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则不同的演出安排方案共有（    ）

A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种

7．已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ）

A．0 B．3 C．4 D．1

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．对于事件A，B，若，且，，则

B．若随机变量，，则

C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强

D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　）

A．  B．1

C．的最大值为 D．的最大值为

11．已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（    ）

A． B． C． D．

12．下列说法正确的是（    ）

A．若事件互斥，，则

B．若事件相互独立，，则

C．若，则

D．若，则

三、填空题

13．已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是__________．

14．已知数列的项数为，且，则的前n项和为_______．

15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）

16．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.

四、解答题

17．已知的内角的对边分别为，面积为 ，满足．

(1)证明：；

(2)是否存在正整数m，n，使得和同时成立．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

18．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．

19．如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.

(1)证明：平面；

(2)若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.

(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.

①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；

②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；

(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.

附：

①随机变量服从正态分布，则，，

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生

21．已知定义在上的函数．

(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；

(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求k的值．

22．在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点的距离的5.

(1)求抛物线方程及点的坐标.

(2)过点的直线交于两点，延长，分别交抛物线于两点.令，，，，求的最小值.

参考答案：

1．B

【分析】解不等式得到，由对数函数单调性解不等式，得到，求出交集.

【详解】集合,

集合,

所以.

故选：B.

2．A

【分析】根据题意求得，结合，即可求解.

【详解】由，可得，则.

故选：A.

3．C

【解析】先求出+和的值,确定 、的符号，进而可以缩小α、β 的围，再根据两角和的正切公式求出的值求出答案.

【详解】∵ 与是方程的两个根，

∴+，

∴，，∴，∴，

∵，又

∴.

故选: C

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件进行合理的拆角，如等．

4．B

【分析】有题意，根据公式代入数据得，变形、化简即可得出答案.

【详解】由题意得，代入数据得，

整理得，即，解得；

所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．

故选：B．

5．B

【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．

【详解】在已知等式中，取得，

取得，

两式相减得，

即，

因为

因为能被8整除，

所以被8整除的余数为5，

即被8整除的余数为5，

故选：B.

6．D

【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数．

【详解】①若三天演出项目数量为，

所有的安排方法数为种，

歌唱与民族舞安排在同一天进行有种，

则三天演出项目数量为的安排方法数为：；

②若三天演出项目数量为，

所有的安排方法数为种，

歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，

歌唱与民族舞安排在第二天进行有种，

则三天演出项目数量为的安排方法数为：

；

③若三天演出项目数量为，

所有的安排方法数为，

歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，

则三天演出项目数量为的安排方法数为：；

综上所述，不同的演出安排方案共有种，

故选：D．

7．B

【分析】求出的最值，由不等式恒成立，求出实数的取值范围.

【详解】当，有，由，解得；

当，有，由，解得，

，，，所以的最小值为.

当，有，由，解得；

当，有，由，解得，

，，，所以的最大值为.

所以的最小值大于的最大值，即恒成立，

所以解得，对任意的，恒成立，则有，即实数的取值范围是.

故选：B

8．D

【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解.

【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，

所以关于对称，关于对称，且，

又，即，则关于对称，

综上，，，则，

所以，而，故，

又，则关于对称，即，

所以，则，

所以.

故选：D

9．ACD

【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.

【详解】对于A，由于，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义，正确；

对于B，根据正态分布密度函数的性质知，

，错误；

对于C，根据相关系数的性质知：约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；

对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；

故选：ACD.

10．BD

【分析】讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D.

【详解】若，则，，

所以，与矛盾；

若，则因为，

所以，，

则，与矛盾，

因此，

所以A不正确．

因为，

所以，

因此，

故B正确．

因为，

所以单调递增，即的最大值不为，

故C错误．

因为当时，，当时，，

所以的最大值为，

即D正确．

故选：BD.

11．CD

【分析】利用辅助角公式化简函数并求出，再借助函数的单调区间列式求解作答.

【详解】依题意，，于是，

当时，，

当在上单调递增时，，

即，解得，不存在整数使得取得ABCD选项中的值；

当在上单调递减时，，

即，解得，

当时，，CD符合，不存在整数使得取得AB选项中的值.

故选：CD

12．ABC

【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率以及全概率公式可判断.

【详解】对于A：，正确；

对于B：，正确；

对于C：，，

所以，解得正确；

对于D：由C得，D错误，

故选：ABC.

13．且

【详解】由平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数）可得可作为一组基底，即不共线，则得且，故答案为且.

14．

【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解.

【详解】因为，又，

所以

又因为，

所以，即.

故答案为：.

15．24

【分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数为，问题得解．

【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男教师只有、、、共4种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，故该6名教师的节目不同的编排顺序共有种.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题．

16．/

【分析】根据给定的条件，画出4个球的外接球的示意图，根据图中的几何关系求解.

【详解】  

如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N，

由题意，，

半球形容器的球心为O，

显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A，

连接ON，则小球的半径=2，

球O的半径；

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)存在，，

【分析】（1）由三角形的面积公式，化简得到，求得，结合正弦定理，即可求解；

（2）假设存在正整数，使得和同时成立，结合正弦、余弦定理，化简得到，鸡儿得到，结合为均为正整数，求得的值，即可求解.

【详解】（1）解：由，即，

因为，可得，所以，

即，即，

又因为，所以，

又由正弦定理，可得．

（2）解：假设存在正整数，使得和同时成立．

所以，即，

化简整理可得，

因为，，所以，即

又因为均为正整数，所以，．

故存在，使得和同时成立

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明

(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.

【详解】（1）点在函数的图象上，，

是“平方递推数列”．                        

因为，

对两边同时取对数得，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，                             

由数列的通项公式得，

当时，；当时，．

又由，得                 

当且时，；                          

当且时，

，                                   

综上，

19．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）连接,取的中点,连接，通过证明平面面得到平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，用空间向量求所成锐二面角的余弦值.

【详解】（1）

如图,连接,取的中点,连接.

因为,

所以,且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

因为平面面，

所以平面,

易得点为的中点,因为点为的中点,所以.

因为.所以.

又,所以且,

所以四边形为平行四边形.

所以,所以.

因为平面平面.

所以平面.

因为,

所以平面面.

因为平面,

所以平面,

（2）因为四边形为矩形,

所以.

因为平面平面,平面平面,

所以平面，

因为平面,所以，

因为,所以.

因为平面， 平面

所以平面.

又平面,所以.

以为原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，

则,

所以，

设平面的法向量为,

则令,得.

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为,

则令,得.

所以平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角为,

则,

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20．(1)①；②答案见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；

（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.

【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量

由已知结论可知，

由附①数据知，

（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，

由题25个面包质量的平均值，

小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报

（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2

设“所取两个面包来自第箱”，所以

设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式

，

，

，

所以黑色面包个数的分布列为

所以

21．(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；

（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.

【详解】（1）∵，

∴，∴，

∴切线方程为，

令，可得，令，可得，

∴，

∴；

（2）∵．

当时．，

由函数在区间上递增，且值域为，

∴存在唯一时，使得，

此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，

此时，，

同理，当时，使得，满足，

当时，使得，满足，

∴．

∵，代入可得．

又，即，

∴当时，，

当时，，

∴，整理得，此时数列为常数列，

又当，可得，不成立，

∴可知，此时．

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）根据抛物线定义列式得的值，即可得抛物线方程及点的坐标；

（2）设，，，，分别表示、，根据，得，代入，利用基本不等式求解．

【详解】（1）已知抛物线上的点到焦点的距离的5

所以，解得，故抛物线方程为，

所以，则，所以点的坐标为；

（2）设，，，，，

由于A，F，M三点共线，故，即，

同理B，F，N三点共线，，故直线的方程为：，

即，，，

由得，所以，，

所以直线的方程为：，即，直线恒过定点，

注意到，所以，设，，则：

，

，

因此，所以的最小值为，此时.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．