新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 第4讲 导数的简单应用（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 第4讲 导数的简单应用（含解析），共15页。
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
2．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
例1 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
答案 B
解析 ∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－eq \f(1,x)，
令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－eq \f(1,2)，
解得f′(2)＝－eq \f(7,4).
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
答案 (e,1)
解析 设A(x0，ln x0)，又y′＝eq \f(1,x)，
则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为
y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，
将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝eq \f(1,x0)(－e－x0)，
化简得ln x0＝eq \f(e,x0)，解得x0＝e，
则点A的坐标是(e,1)．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1 (1)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于( )
A．e B．2e C．1 D．2
答案 C
解析 设切点为(n，aen＋n)，因为y′＝aex＋1，
所以切线的斜率为aen＋1，
切线方程为y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)，
即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)，
依题意切线方程为y＝2x＋1，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aen＋1＝2，,aen1－n＝1，))解得a＝1，n＝0.
(2)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
答案 A
解析 对函数y＝sin x求导，得y′＝cs x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝eq \f(1,x)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.
考点二 利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
例2 已知f(x)＝a(x－ln x)＋eq \f(2x－1,x2)，a∈R.讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a－eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)＋eq \f(2,x3)＝eq \f(ax2－2x－1,x3).
若a≤0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f′(x)＝eq \f(ax－1,x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(\f(2,a))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(\f(2,a)))).
(1)当00，f(x)单调递增，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(\f(2,a))))时，f′(x)2时，00，所以函数g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上单调递增．
而eq \f(ln x,fx)>0可化为ln xf(x)>0，
等价于g(x)>g(1)，解得x>1，
所以不等式eq \f(ln x,fx)>0的解集是(1，＋∞)．
5．若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且x10，所以作出函数g(x)的简图如图所示，
因为g(x)＝eq \f(x,ex)的图象与直线y＝－a有两个不同交点，所以00(x>0)，即x>eq \f(1,a).
此时f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞)).
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≤1，,a>0，))解得a≥1；
③当a0(x>0)，即x>－eq \f(1,2a).
此时f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，＋∞))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)≤1，,a