新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点8 向量共线定理的应用（含解析）

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培优点8　向量共线定理的应用向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．例1　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　∵|3－－|＝0，∴3－－＝0，∴＋＝3.设BC的中点为G，则＋＝2，∴3＝2，即＝，∴点M在线段AG上，且＝.∴＝＝，易得＝＝，∴＝·＝×＝，即△ABM与△ABC的面积之比等于.(2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　解析　方法一　∵B，P，N三点共线，∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)，∴－＝λ(－)，∵λ>0，∴＝ ＋.∵＝，＝m＋，∴＝m＋，∴解得方法二　∵＝，＝m＋，∴＝m＋.∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.例2　(1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　)A.＋   B.＋C.＋   D.＋答案　A解析　如图，设＝λ(λ>0)，又＝＋＝＋，∴＝λ＋λ＝λ＋λ.又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，∴λ＝，∴＝＋.(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x， ＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．答案　解析　由D为BC的中点知，＝＋，又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点，故＝＝＋，∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．∴4x＋y的最小值为.(1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置． 1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y，∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①同理，＝2x＋y，∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝.2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，·＝6，·＝，则·的值为________．答案　解析　∵D为边BC上一点，可设＝λ，∴＝＋B＝(1－λ)＋λ.∴①＋②得，9＋·＝，∴·＝.3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．答案　解析　设＝a，＝b，则＝＋＋＝－a＋b＋b＝－a＋b.设＝λ，则＝＋＝a＋λb.因为＝ma＋nb，所以1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋n＝1，＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立．所以＋的最小值为.