新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点9 平面向量数量积的最值问题（含解析）

培优点9　平面向量数量积的最值问题

平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．

例　(1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)

A．13  B．15  C．19  D．21

答案　A

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，

A＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，

·＝·(－1，t－4)

＝17－≤17－2＝13，

当且仅当t＝时等号成立．

∴·的最大值等于13.

(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________．

答案　5－2

解析　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，

设P(2cos θ，2sin θ)，

则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)，

其中0<tan φ＝<，所以0<φ<，

当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2.

数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．

1．在△ABC中，若A＝120°，A·＝－1，则||的最小值是________．

答案　

解析　由·＝－1，得||·||·cos 120°＝－1，即||·||＝2，

所以||2＝|－|2＝2－2·＋2

≥2||·||－2·＝6，

当且仅当||＝||＝时等号成立，

所以||min ＝.

2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．

答案　　

解析　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，

所以·＝||·||·cos 120°＝－，

解得||＝1.

因为，同向，且BC＝6，

所以＝，即λ＝.

在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，

则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝.

以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．

如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，

则N(a＋1,0)，且－≤a≤.

又D，

所以＝，＝，

所以·＝a2－a＋＝2＋.

所以当a＝时，·取得最小值.

3．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________．

答案　－

解析　不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，

则a＋b＝(－1，m＋n)，

故|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，

即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤，

所以a·b＝－2＋mn≤－，

当且仅当m＝n＝时等号成立，

所以a·b的最大值为－.

4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________．

答案　2

解析　在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，

所以||·||·cos A＝－1，

所以cos A＝－，所以A＝120°，

以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

所以A(0,0)，B(2,0)，D.

设M，－≤x≤，

因为＝，＝，

所以·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋

＝(x－1)2－.

设f(x)＝(x－1)2－，因为x∈，

所以当x＝－时，f(x)取得最大值2.