新高考数学二轮复习 第2部分 思想方法 第2讲 数形结合思想 （含解析）

第2讲　数形结合思想

思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．

方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题

利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．

例1　已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

思路分析　方程fx＝b有三个不同的根→函数y＝fx的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象

答案　(3，＋∞)

解析　作出f(x)的图象如图所示，当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.

要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.

批注　正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．

例2　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则底数a的取值范围为________．

答案　{a|1<a≤2}

解析　设y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0<a<1，则当x∈(1,2)时，(x－1)2<logax是不可能的，所以a应满足解得1<a≤2，

所以底数a的取值范围为{a|1<a≤2}．

方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；fx<gx可转化为函数y＝fx和函数y＝gx图象的位置关系问题.

方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题

向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．

例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)

A．1  B．2  C.  D.

思路分析　求|c|的最大值→考虑向量a，b，c的几何关系→通过几何意义观察|c|的最值

答案　C

解析　如图，

设＝a，＝b，＝c，

则＝a－c，＝b－c.

由题意知⊥，

∴O，A，C，B四点共圆．

∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.

例4　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

答案　

解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为＝.

应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.

方法三　几何动态问题中的数形结合

对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．

例5　已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标．

思路分析　△APF的周长最小→结合抛物线定义转化|PF|＝|PQ|→结合图形观察三边关系求最值

解　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为

(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.

故使△APF的周长最小时点P的坐标为.

批注　通过定义转化|PF|＝|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键．

几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.