新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练8 （含解析）

小题满分练8

一、单项选择题

1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝}，则A∩B等于(　　)

A．{1}   B．(0，＋∞)

C．(0,1)   D．(0,1]

答案　D

解析　∵A＝{y|y>0}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝(0,1]．

2．复数等于(　　)

A．2－i   B．1－2i

C．－2＋i   D．－1＋2i

答案　C

解析　＝＝－2＋i.

3．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)

A．62%  B．56%  C．46%  D．42%

答案　C

解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，

则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.

4. (2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)

A．20°  B．40°  C．50°  D．90°

答案　B

解析　如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，

由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，

又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，

则晷针AC与水平面所成角为40°.

5．(2020·郑州模拟)将函数f(x)＝2sin图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为(　　)

A．x＝－   B．x＝

C．x＝   D．x＝

答案　A

解析　将函数f(x)＝2sin图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，

得y＝2sin，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，

则g(x)＝2sin＝2sin，

由4x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，

当k＝0时，所得对称轴离原点最近，即离原点最近的对称轴方程为x＝－.

6．已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 025)等于(　　)

A．0  B．2 025  C．3  D．－2 013

答案　A

解析　∵函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，

∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0，即y轴对称，

∴y＝f(x)为R上的偶函数，

又对任意x∈R，均有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，

令x＝－3，得f(6－3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，

∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，

∴函数y＝f(x)是以6为周期的函数，

∴f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝0.

7. (2020·大庆模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与函数y＝(x≥0)的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－4,0)，则双曲线的离心率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　设P的坐标为(m，)，

又左焦点F(－4,0)，函数的导数y′＝，

则在P处的切线斜率k＝y′|x＝m＝＝，

即m＋4＝2m，得m＝4，

则P(4,2)，设右焦点为A(4,0)，

则2a＝|PF|－|PA|＝－＝2(－1)，

即a＝－1，

∵c＝4，∴双曲线的离心率e＝＝.

8．已知函数f(x)＝若0<a<b且满足f(a)＝f(b)，则af(b)＋bf(a)的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　∵函数f(x)＝

若0<a<b且满足f(a)＝f(b)，

则－ln a＝且由0<－ln a<1，

得<a<1，

又af(b)＋bf(a)＝a·＋b(－ln a)＝－aln a＋1，

令g(x)＝－xln x＋1，

则g′(x)＝－ln x－1，

令g′(x)＝0，则x＝，

当<x<1时，g′(x)<0，

∴g(x)在上单调递减，∴g(x)∈.

即af(b)＋bf(a)的取值范围是.

二、多项选择题

9．随着移动网络的发展，网上购物已经从当时雾里看花、遥不可及的状态，变成了当今非常流行的一种购物方式，大学生作为对网络很敏感的人群，他们对网上购物接受很快，是未来购物市场的主力军．某市场调查员对某市部分在校大学生在一定时间内的网购次数进行了随机调查，其相关数据统计如图所示．

则下面结论中错误的是(　　)

A．每月最多网购1次的百分比小于每月至少网购4次的百分比

B．每周网购5次的百分比为2.1%

C．每月网购8次及以上的百分比为9.10%

D．每月网购不多于3次的百分比为69.93%

答案　ABC

解析　对于选项A，每月最多网购1次的百分比为16.08%＋21.68%＝37.76%，每月至少网购4次的百分比为1－(37.76%＋32.17%)＝30.07%，故A错误；对于选项B，不能认为每周网购5次的百分比是每周网购4～5次的百分比的一半，故B错误；对于选项C，每月网购8次及以上的百分比为4.90%＋4.20%＋6.29%＝15.39%，故C错误；对于选项D，每月网购不多于3次的百分比为37.76%＋32.17%＝69.93%，故D正确．

10．(2020·山东新高考名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2，且ccos B＋bcos C－2acos A＝0，则有(　　)

A．A＝   B．C＝

C．a＝   D．c＝2

答案　AB

解析　由正弦定理知，ccos B＋bcos C－2acos A＝0可化为sin Ccos B＋sin Bcos C－2sin Acos A＝0，即sin(B＋C)－2sin Acos A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A>0，所以cos A＝，又0<A<π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋42－2×2×4×＝12，所以a＝2，由正弦定理得＝，则sin C＝＝＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.

11．在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋a3＋…＋an>a1a2a3…an的正整数n的值可以为(　　)

A．10  B．11  C．12  D．13

答案　ABC

解析　∵正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3，

∴q2＋q＝6(q>0)．

解得q＝2或q＝－3(舍)，

∴a1＝，

∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝，

∴>× .

化简得2n－1>，

即2n－>1，

由于n为正整数，当n＝1时，上式不成立，

所以n>1时，只需n>，

即n2－13n＋10<0，

解得1<n≤12(n∈N*)，

故选ABC.

12．(2020·山东新高考名校联考)已知抛物线C：x2＝3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则(　　)

A．直线l的倾斜角为30°或150°

B．|AF|－|BF|＝4

C.＝或3

D．S△AOB＝

答案　ACD

解析　由题意知F，

故可设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，得消去y，得4x2－12kx－9＝0，

Δ＝144k2＋144>0恒成立，

∴

∴|AB|＝|x1－x2|＝3(1＋k2)＝4，

∴k＝±.

设直线l的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°.

设＝λ，

则当θ＝30°时，|AF|＋|BF|＝(λ＋1)|BF|＝4，

又由抛物线的定义易知|AF|－|BF|＝(λ－1)|BF|＝2，

∴＝＝2，

∴＝2，∴λ＝3，即＝3.

由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝，即＝.

S△AOB＝×|OF|×|x1－x2|

＝××[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝××＝.

三、填空题

13．(2020·天津)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．

答案　5

解析　设圆心为O(0,0)，

圆心到直线的距离d＝＝4.

取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.

在Rt△OMA中，r＝＝5.

14．已知tan＝－，则cos 2α＝________.

答案　－

解析　方法一　因为tan＝－，

所以tan α＝tan

＝

＝＝－，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.

方法二　tan＝＝＝－，

所以tan α＝－，即sin α＝－cos α，

又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.

15.如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．

答案　15

解析　取AC的中点G，连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG⊂平面SGB，故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.

同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，

从而得HF∥AC且HF＝AC，DE∥AC且DE＝AC，

所以HF∥DE且HF＝DE，

所以四边形DEFH为平行四边形．

因为AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·HD＝·＝15.

16．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝

12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________ cm2

.

答案　＋4

解析　如图，连接OA，过A作AP⊥EF，

分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.

由题意知AP＝EP＝7，

又DE＝2，EF＝12，

所以AQ＝QG＝5，

所以∠AHO＝∠AGQ＝.

因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，∠AOB＝.

设AR＝x，则OR＝x，RQ＝5－x.

因为tan∠ODC＝，所以tan∠ODC＝＝，

解得x＝2，则OA＝2.

所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆

＝××(2)2＋×4×2－π×12

＝cm2.