新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第八周 （含解析）

第八周

周一

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2A－asin Acos C＝csin 2A.

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为，外接圆半径为，求b＋c的值．

解　(1)由bsin 2A－asin Acos C＝csin 2A及正弦定理，得sin Bsin 2A－sin2Acos C＝sin 2Asin C，

即2sin Bsin Acos A＝sin2Acos C＋sin Acos Asin C.

又A，B∈(0，π)，∴sin A≠0且sin B≠0，

∴2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin B，

∴2cos A＝1，cos A＝，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)由△ABC的外接圆半径为，得a＝2sin ＝3.

S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝9，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc，

∴9＝(b＋c)2－3bc，即36＝(b＋c)2，故b＋c＝6.

周二

2．(2020·济宁模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)设bn＝log2，若称使数列{bn}的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间(0,2 020)内所有“优化数”的和S.

解　(1)由数列{an}的前n项和Sn＝知

当n＝1时，S1＝，a1＝S1，所以a1(a1－1)＝0，

又a1>0，所以a1＝1，

当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－，

整理得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，

所以数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列，

所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n.

(2)由an＝n知，bn＝log2＝log2，

数列{bn}的前n项和为b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝log2＋log2＋log2＋…＋log2

＝log2

＝log2(n＋2)－1，

令b1＋b2＋b3＋…＋bn＝k(k∈Z)，

则有log2(n＋2)－1＝k，n＝2k＋1－2，

由n∈(0,2 020)，k∈Z知，k<10且k∈N*，

所以区间(0,2 020)内所有“优化数”的和为

S＝(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(210－2)

＝(22＋23＋24＋…＋210)－18

＝－18＝211－22＝2 026.

周三

3.如图，在三棱锥P－ABC中，已知AC＝2，AB＝BC＝PA＝，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若点M在棱PA上，＝λ，且二面角P－BC－M的余弦值为，试求λ的值．

(1)证明　设AC的中点为O，连接PO，

由题意，得BC2＋AB2＝AC2，

则△ABC为直角三角形，

点O为△ABC的外接圆圆心．

又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心，

所以PO⊥平面ABC，

又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)解　由(1)可知PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，

以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，P(0,0,1)，

设＝λ，λ∈[0,1]，＝(1,0,1)，M(λ－1,0，λ)，

＝(1，－1,0)，＝(1,0，－1)，＝(2－λ，0，－λ)，

设平面MBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则

令x1＝1，得m＝，

设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

由令x2＝1，得n＝(1,1,1)，

因为二面角P－BC－M的余弦值为，

所以|cos〈n，m〉|＝＝

＝，

解得λ＝，M，即M为PA的中点．

周四

4．为响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．

(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关？

(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门带头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名女代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及均值E(ξ)．

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

解　(1)根据所给条件，制作列联表如下：

所以K2的观测值k＝＝＝，

因为K2的观测值k＝>1.323，

由所给临界值表可知，可以在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关．

(2)设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m＋n，

根据已知条件可得ξ＝1,2,3,4,5，

P(ξ＝1)＝P(m＝1，n＝0)＝·＝，

P(ξ＝2)＝P(m＝1，n＝1)＋P(m＝2，n＝0)

＝·＋·＝，

P(ξ＝3)＝P(m＝1，n＝2)＋P(m＝2，n＝1)＋P(m＝3，n＝0)＝·＋·＋·＝，

P(ξ＝4)＝P(m＝2，n＝2)＋P(m＝3，n＝1)

＝·＋·＝，

P(ξ＝5)＝P(m＝3，n＝2)＝·＝，

所以ξ的分布列是

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

周五

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且||＝，·＝－，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

解　(1)设P点坐标为(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．

则＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，

由题意得

解得c2＝3，∴c＝，

又e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，

∴所求椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设直线AB方程为y＝kx＋m，

A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

联立

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.①

又由α＋β＝，

∴tan α＝＝＝＝，

即tan α·tan β＝1.

又∵M(－2,0)，∴tan α＝kMA＝＝，

同理，tan β＝，∴＝1，

代入①式化简，得m＝2k或m＝k，

当m＝2k时，直线AB过点(－2,0)，不合题意，舍去．

当m＝k时，y＝kx＋k，过点.

综上，直线AB恒过定点.

周六

6．(2020·河南省六市联考)已知函数f(x)＝ln x＋.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)令g(a)＝，若对任意的x>0，a>0，恒有f(x)≥g(a)成立，求实数k的最大整数．

解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－＝，

①当a≤0时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

②当a>0时，

x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知f(x)min＝f(a)＝ln a＋1，

∴f(x)≥g(a)恒成立，则只需ln a＋1≥g(a)恒成立，

则ln a＋1≥＝k－5－，

⇔ln a＋≥k－6，

令h(a)＝ln a＋，则只需h(a)min≥k－6，

则h′(a)＝－＝，

∴当a∈(0,2)时，h′(a)<0，h(a)单调递减，

当a∈(2，＋∞)时，h′(a)>0，h(a)单调递增，

h(a)min＝h(2)＝ln 2＋1，

即ln 2＋1≥k－6，∴k≤ln 2＋7，

∴实数k的最大整数为7.