新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练5(数列、三角、立几、概率)（含解析）

大题保分练5(数列、三角、立几、概率)

1．已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．

解　(1)数列{an}是等差数列，设公差为d，

且lg a1＝0，lg a4＝1.

则解得d＝3，

所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.

(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，

则a＝a1·a6，

根据等差数列的通项公式得到ak＝3k－2，

代入上式解得k＝2；a1，a2，a6是等比数列{bn}的前3项，a1＝1，a2＝4，

所以等比数列{bn}的公比为q＝4.

由等比数列的通项公式得到bn＝4n－1.

则an＋bn＝3n－2＋4n－1，

故Sn＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n－2＋4n－1)

＝＋＝n2－n＋(4n－1)．

2．(2020·天津)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.

(1)求角C的大小；

(2)求sin A的值；

(3)求sin的值．

解　(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，

得cos C＝＝.

又因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，

可得sin A＝＝.

(3)由a<c及sin A＝，

可得cos A＝＝，

进而sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝2cos2A－1＝.

所以sin＝sin 2Acos＋cos 2Asin

＝×＋×＝.

3．如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC＝2，现将菱形ABCD沿对角线AC折叠至B′，使B′D＝1.

(1)求证：AC⊥B′D；

(2)求二面角C－AD－B′平面角的余弦值．

(1)证明　如图所示，取AC的中点为E，连接DE，B′E，

因为AB′＝B′C，AD＝CD，

所以B′E⊥AC，DE⊥AC，

又B′E∩DE＝E，且B′E，DE⊂平面B′ED，所以AC⊥平面B′ED，

又因为B′D⊂平面B′ED，所以AC⊥B′D.

(2)解　在等腰三角形B′AC中，可求得B′E＝1，同理DE＝1.

又因为B′D＝1，所以△B′ED为等边三角形．建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(，0,0)，A(－，0,0)，D(0,1,0)，B′，

所以＝(，1,0)，＝.

设平面B′AD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

不妨取n＝(－1，，1)，

易知平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，

则cos〈m，n〉＝＝，

由图易知，二面角C－AD－B′为锐角，

所以二面角C－AD－B′平面角的余弦值为.

4．(2020·济南模拟)网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分．正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计－1分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易，调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图①和图②.

(1)通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关？

(2)从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X，该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表(如表)，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．

(ⅰ)求X的分布列和均值；

(ⅱ)平台规定，当积分超过10 000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号．

附：K2＝.

解　(1)由题意可得

K2的观测值k＝＝≈9.091>6.635，

所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．

(2)(ⅰ)由题意可知，X的取值可能是1,0，－1，

每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8,0.1,0.1，

所以X的分布列为

所以E(X)＝1×0.8＋0×0.1＋(－1)×0.1＝0.7.

(ⅱ)方法一　设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27,30,36，

所以Y的分布列为

所以E(Y)＝27×0.4＋30×0.4＋36×0.2＝30，

所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，

商家一年能获得积分为21×365＝7 665<10 000，

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．

方法二　商家每天的平均成交量为

＝30，

所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，

商家一年能获得的积分为21×365＝7 665<10 000，

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．