新高考数学二轮复习 第3部分 回扣3　三角函数、三角恒等变换与解三角形（含解析）

回扣3　三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．终边相同角的表示

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．几种特殊位置的角的集合

(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．

(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．

(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．

(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．

(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．

3．1弧度的角

在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．

4．角度制与弧度制的换算

(1)1°＝ rad.

(2)1 rad＝°.

5．扇形的弧长和面积

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.

相关公式：(1)l＝|α|r.

(2)S＝lr＝|α|r2.

6．利用单位圆定义任意角的三角函数

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y.

(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x.

(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．

7．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.

(2)商的关系：＝tan α.

8．三种三角函数的图象和性质

9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象

(1)“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．

(3)图象变换

y＝sin xy＝sin(x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ)

y＝Asin(ωx＋φ)．

10．准确记忆六组诱导公式

对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．

11．三角恒等变换

(1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

tan(α＋β)＝，

tan(α－β)＝.

(2)二倍角公式：

sin 2α＝2sin αcos α，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

tan 2α＝.

(3)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.

(4)辅助角公式：

asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

12．正弦定理及其变形

＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

sin A＝，sin B＝，sin C＝.

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

13．余弦定理及其推论、变形

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

推论：cos A＝，cos B＝，

cos C＝.

变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，

a2＋b2－c2＝2abcos C.

14．面积公式

S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.

1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．

2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．

3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．

4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ.

5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．