新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 压轴题突破练1 （含解析）

压轴题突破练1

1．已知P(0,1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线x＝4交于点M，是否存在点A，使得S△ABP＝S△ABM？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

解　(1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(0,1)，得b＝1，

又点P到两焦点距离之和为2，即2a＝2，a＝，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在，设A(m，n)，依题意得，直线PA的斜率存在，则直线PA的方程为y＝x＋1，

令x＝4，得y＝＋1，即M，

因为S△ABP＝S△ABM，所以＝，

所以＝＝，

又因为点A在y轴的右侧，所以＝，解得m＝，

所以A，代入椭圆C中，得n＝±，

于是存在点A，使得S△ABP＝S△ABM.

2．(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xln x－mx2(m∈R)，g(x)＝－－x＋.

(1)若函数f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－y＋1＝0平行，求m的值；

(2)证明：在(1)的条件下，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，f(x1)>g(x2)成立．

(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝ln x＋1－mx，f′(1)＝1－m.

因为f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－y＋1＝0平行，

所以1－m＝1，即m＝0.

(2)证明　由(1)知，f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋1.

当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)＝xln x在x＝时取得最小值f ＝－，可知f(x1)≥－，

由g(x)＝－－x＋，得g′(x)＝－，

令h(x)＝g′(x)＝－，得h′(x)＝，

所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

所以g′(x)≤g′(1)＝h(1)＝－，

因为g′(x)≤－<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

可知g(x2)<g(0)＝－，

所以对任意x1，x2∈(0，＋∞)，f(x1)>g(x2)．