新高考数学二轮复习 第3部分 回扣7　解析几何 （含解析）

回扣7　解析几何

1．直线方程的五种形式

(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．

(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．

(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．

(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．

(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．

2．直线的两种位置关系

(1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：

①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.

②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．

(2)直线方程是一般式Ax＋By＋C＝0.

①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0.

②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便．

3．三种距离公式

(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离

|AB|＝.

(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．

(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．

提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．

4．圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

5．直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离．

判断方法：代数判断法与几何判断法．

(2)弦长的求解方法

①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2.

②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝ |y1－y2|(k≠0)求解．

③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．

(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含．

判断方法：代数判断法与几何判断法．

(4)①当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

②公共弦长的求法

(ⅰ)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

(ⅱ)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

7.直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．

弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，

或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．

1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．

2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．

3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.

4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．

5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．

6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．

7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．

8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．