新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练3(三角、数列、立几、概率)（含解析）

大题保分练3(三角、数列、立几、概率)

1．(2020·济南检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A＋a＝c，D是BC边上的点．

(1)求角B；

(2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．

解　(1)由bcos A＋a＝c，得

sin Bcos A＋sin A＝sin C，

sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，

sin Bcos A＋sin A＝sin Acos B＋cos Asin  B，

sin A＝sin Acos B，

∵sin A≠0，∴cos B＝，

∴B＝.

(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，

∴cos∠ADC＝＝＝－，

∴∠ADC＝，

在△ABD中，AD＝5，B＝，∠ADB＝，

由＝，

得AB＝＝＝＝.

2．(2020·日照模拟)在①a2＋a3＝a5－b1；②a2·a3＝2a7；③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，

anbn＋1＝nbn－bn＋1，n∈N*.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{bn}的前n项和Tn.

解　(1)若选①，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，

∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，

∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2.

又∵a2＋a3＝a5－b1，∴d＝3，

∴an＝3n－1.

若选②，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，

∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，

∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2.

又∵a2a3＝2a7，即(2＋d)(2＋2d)＝2(2＋6d)，

解得d＝3或d＝0(舍)，∴an＝3n－1.

若选③，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，

∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，

∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2.

S3＝3×2＋d＝15，解得d＝3.

∴an＝3n－1.

(2)由(1)知(3n－1)bn＋1＝nbn－bn＋1，

即3nbn＋1＝nbn,3bn＋1＝bn，

则数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{bn}的前n项和

Tn＝＝(1－3－n)＝－.

3．(2020·全国Ⅲ)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.

(1)证明：点C1在平面AEF内；

(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值．

(1)证明　设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系．

连接C1F.C1(0,0,0)，A(a，b，c)，

E，F，

＝，＝，

得＝，因此EA∥C1F，

即A，E，F，C1四点共面，

所以点C1在平面AEF内．

(2)解　由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，＝(0，－1，－1)，＝(－2,0，－2)，＝(0，－1,2)，＝(－2,0,1)．

设n1＝(x，y，z)为平面AEF的法向量，则

即

可取n1＝(－1，－1,1)．

设n2为平面A1EF的法向量，

则

同理可取n2＝.

因为cos〈n1，n2〉＝＝－，

所以二面角A－EF－A1的正弦值为.

4．(2020·江西省名师联盟联考)冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．人感染后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标A.现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：

(1)求这500份血液样品指标A值的平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表，记作xi(i＝1,2，…，7))；

(2)由频率分布直方图可以认为，这项指标A的值x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件(正常条件下小概率事件的发生是不正常的)．该医院非常关注本院医生的健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．

附：参考数据与公式：(xi－)2hi＝3.46，≈2.63，3.46≈×2.632；若x～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 7；②P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.954 5；③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.997 3.0.158 654≈0.000 6，0.158 656≈0.000 016，0.841 3514≈0.089 1，0.841 3516≈0.063 0.

解　(1)根据题意，由频率分布直方图可知，

500份血液样品指标A值的平均数为

＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.4，

500份血液样品指标A值的样本方差s2为

s2＝(xi－)2hi×2＝3.46×2＝6.92.

(2)由题意知，指标A的值x服从正态分布N(μ，σ2)，

μ＝＝17.4，σ2＝s2＝6.92，则x～N(17.4,6.92)，

所以20.03＝μ＋σ，

P(x>20.03)＝P(x>μ＋σ)＝＝0.158 65.

随机抽取20名医生独立检测血液中指标A的值，就相当于进行了20次独立重复试验，

记“20名医生中出现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03”为事件B，

则P(B)＝C×0.158 654×(1－0.158 65)16

≈4 845×0.000 6×0.063 0＝0.183 141>3‰，

所以从血液中指标A的值的角度来看，该院医生的健康率是正常的．