新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第六周 （含解析）

第六周

周一

1．(2020·鹰潭模拟)Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an－5an，求数列{bn}中最小的项．

解　(1)对任意的n∈N*，

由an－Sn＝n－n2，

得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，

两式相减得an＝n，

因此数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)得bn＝2n－5n，则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.

当n≤2时，bn＋1－bn<0，即bn＋1<bn，

∴b1>b2>b3.

当n≥3时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn，

∴b3<b4<b5<….

∴数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.

周二

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝ccos B＋b.

(1)若a＋b＝7，△ABC的面积等于3，求c；

(2)若c＝4，求△ABC周长的最大值．

解　(1)∵a＝ccos B＋b，

∴sin A＝sin Ccos B＋sin B，

∴sin(B＋C)＝sin Ccos B＋sin B，

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B＋sin B，

∴sin Bcos C＝sin B，

∵sin B≠0，∴cos C＝，C＝，

∵△ABC的面积等于3，

∴absin C＝3，∴ab＝12.

∵a＋b＝7，∴a2＋b2＋2ab＝49，a2＋b2＝25，

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝25－12＝13，

∴c＝.

(2)方法一　∵C＝，∴0<A<，

∵c＝4，∴＝，

由正弦定理可得a＝sin A，

b＝sin(A＋C)＝

＝sin A＋4cos A，

∴a＋b＝sin A＋sin A＋4cos A

＝4sin A＋4cos A＝8sin，

∵0<A<，∴<A＋<，

∴4<8sin≤8，

∴△ABC周长的最大值为8＋4＝12.

方法二　∵C＝，c＝4，

∴由余弦定理可得16＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.

由基本不等式可得16≥，

∴a＋b≤8，当且仅当a＝b时等号成立，

∴a＋b的最大值是8，

∴△ABC周长的最大值为12.

周三

3.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．

(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；

(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明　∵AB＝BC，E为AC的中点，

∴BE⊥AC，

又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，

∴PA⊥BE，

∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BE⊥平面PAC，

∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.

(2)解　由(1)知，PA⊥BE，PA⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，

∴EF⊥BE，EF⊥AC，

又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，以点E为原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，

设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，

∴＝＋＝(2(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，

＝(－2，2,0)，＝(0,4，－2)，

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则

⇒

令x＝1，则y＝，z＝2，

∴n＝(1，，2)．

由已知＝⇒＝

⇒λ＝或(舍去)，故λ＝.

故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为，

此时G为线段PB的中点．

周四

4．(2020·潍坊模拟)近年来，国家高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

(1)求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？

(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任选3人，记选到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及均值．

参考公式：r＝，

K2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.

临界值表：

参考数据：≈25.2.

解　(1)依题意，

＝＝3，＝＝16，

故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，

(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10，

(yi－)2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，

则r＝＝

＝≈0.933，

故管理时间y与土地使用面积x线性相关．

(2)依题意，完善表格如下：

计算得K2的观测值为

k＝＝＝18.75>10.828，

故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．

(3)依题意，X的可能取值为0,1,2,3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，

故P(X＝0)＝3＝，

P(X＝1)＝C×2×＝，

P(X＝2)＝C××2＝，

P(X＝3)＝C3＝.

故X的分布列为

则均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

周五

5. (2020·重庆模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：

(1)求y1＋y2的值；

(2)若直线AB在y轴上的截距b∈(－1,3]，求△ABP面积的最大值．

解　(1)由点P(1,2)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，

由题意可得y＝4x1，y＝4x2，

kPA＋kPB＝＋＝＋

＝＋＝0，则y1＋y2＝－4.

(2)由题意可得y＝4x1，y＝4x2，

相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，

则kAB＝＝＝－1，

可设直线AB的方程为y＝－x＋b(b∈(－1,3])，

联立抛物线方程y2＝4x，可得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，

Δ＝(2b＋4)2－4b2＝16(1＋b)>0，且x1＋x2＝2b＋4，x1x2＝b2，

则|AB|＝·|x1－x2|

＝·

＝·

＝4，

P(1,2)到直线AB的距离为d＝＝，

可得S△ABP＝|AB|·d＝2(3－b)

＝·＝2.

令f(b)＝b3－5b2＋3b＋9，b∈(－1,3]，

∴f′(b)＝3b2－10b＋3＝(3b－1)(b－3)，

令f′(b)>0⇒－1<b<，f′(b)<0⇒<b<3.

∴f(b)在上单调递增，在上单调递减，

∴f(b)max＝f ＝，

∴当b＝时，(S△ABP)max＝2＝.

周六

6．已知函数f(x)＝－x3＋x2＋m(m－3)x＋n(m，n∈R)，且|m|≤1.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝ex与函数y＝ex·f(x)在公共点P(x0，y0)处有相同的切线，且f(x)≥1在[x0－1，x0＋1]上恒成立．

①求f′(x0)和f(x0)的值；(f′(x)为函数f(x)的导函数)

②求实数n的取值范围．

解　(1)∵f′(x)＝－x2＋3x＋m(m－3)

＝－(x－m)[x－(3－m)]，

又∵|m|≤1，∴m<3－m，

令f′(x)>0，则(x－m)[x－(3－m)]<0，

∴m<x<3－m；

令f′(x)<0，则(x－m)[x－(3－m)]>0，

∴x<m或x>3－m，

∴f(x)的单调递增区间为(m,3－m)，单调递减区间为(－∞，m)和(3－m，＋∞)．

(2)①∵y＝ex与y＝ex·f(x)在公共点P(x0，y0)处有相同的切线，

∴

∴

②∵f(x)≥1＝f(x0)在[x0－1，x0＋1]上恒成立，

且f′(x0)＝0，

∴x0是f(x)的极小值点，由(1)知x0＝m，

∴f(x0)＝f(m)＝－m3＋m2＋m(m－3)m＋n＝1，

∴n＝－m3＋m2＋1，m∈[－1,1]，

令t(x)＝－x3＋x2＋1，x∈[－1,1]，

∴t′(x)＝－2x2＋3x＝－x(2x－3)，

令t′(x)＝0，则x1＝0，x2＝∉[－1,1]，

∵t(－1)＝，t(0)＝1，t(1)＝，

∴t(x)的值域为.

∴实数n的取值范围是.