新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第七周 （含解析）

第七周

周一

1．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足a＝bsin.

(1)求角B；

(2)求sin A－sin C的取值范围．

解　(1)∵a＝bsin＝bsin C＋bcos C，

∴由正弦定理可得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，

可得cos Bsin C＝sin Csin B，

∵sin C≠0，∴cos B＝sin B，∴tan B＝1，

∵0<B<π，∴B＝.

(2)∵B＝，

∴sin A－sin C＝sin－sin C＝cos C，

又∵0<C<，且y＝cos C在上单调递减，

∴sin A－sin C的取值范围是.

周二

2．在①2Sn＝3n＋1－3，②an＋1＝2an＋3，a1＝1这两个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．

设数列{an}的前n项和为Sn，若________，bn＝，求数列{bn}的最大值．

解　若选择条件①，

∵2Sn＝3n＋1－3，∴2Sn＋1＝3n＋2－3，

则2Sn＋1－2Sn＝3n＋2－3n＋1，

得2an＋1＝3·3n＋1－3n＋1＝2·3n＋1，

则an＋1＝3n＋1，an＝3n，故bn＝＝.

令2n－6>0，得n>3，bn>0，

令2n－6<0，又n∈N*，∴0<n<3，bn<0.

当n＝3时，b3＝0；当n＝4时，b4＝；

当n＝5时，b5＝＝<b4，

易知当n≥4时，{bn}单调递减，则当n＝4时，数列{bn}的项最大，最大值为b4＝＝.

若选择条件②，∵an＋1＝2an＋3，

∴an＋1＋3＝2an＋6＝2(an＋3)．

∵a1＝1，∴a1＋3＝4，

∴数列{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋3＝2n＋1，an＝2n＋1－3，

故bn＝＝.

令2n－6>0，得n>3，bn>0，

令2n－6<0，又n∈N*，∴0<n<3，bn<0.

当n＝3时，b3＝0；当n＝4时，b4＝；

当n＝5时，b5＝＝<b4，

易知当n≥4时，{bn}单调递减，则当n＝4时，数列{bn}的项最大，最大值为b4＝＝.

周三

3. (2020·唐山模拟)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.

(1)求证：AC⊥平面BDEF；

(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

(1)证明　设AC与BD相交于点O，连接FO，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，且O为AC的中点，

∵FA＝FC，∴AC⊥FO，

又FO∩BD＝O，FO，BD⊂平面BDEF，

∴AC⊥平面BDEF.

(2)解　连接DF，

∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，

∵O为BD的中点，∴FO⊥BD，

又AC⊥FO，BD∩AC＝O，BD，AC⊂平面ABCD，

∴FO⊥平面ABCD.

∵OA，OB，OF两两垂直，

∴以点O为原点，OA，OB，OF方向为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，

∴BD＝2，AC＝2.

∵△DBF为等边三角形，∴OF＝.

∴A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，

∴＝(－，－1,0)，＝(－，0，)，

＝(－，1,0)．

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，

则

取x＝1，得n＝(1，，1)．

设直线AD与平面ABF所成角为θ，

则直线AD与平面ABF所成角的正弦值为

sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.

周四

4．某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：

已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年

10万元．

(1)求保险公司在该业务所获利润的均值；

(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．

请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．

解　(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，

则X，Y，Z的分布列为

∴E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15，

E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5，

E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10，

保险公司的利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，

∴保险公司在该业务所获利润的均值为9万元．

(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为

12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104.

方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为

(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104，

46×104>37.1×104，建议企业选择方案2.

周五

5．(2020·邯郸模拟)已知A(0,2)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足PA，PB的斜率之积为－.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知直线l：y＝kx＋m，C的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点，若F是△AMN的垂心，求直线l的方程．

解　(1)因为动点P(x，y)满足PA，PB的斜率之积为－，

所以·＝－(x≠0)，

整理可得＋＝1，

所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1(x≠0)．

(2)由(1)可得右焦点F(2,0)，可得kAF＝＝－1，

因为F为垂心，所以直线MN的斜率为1，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立直线l与椭圆的方程

整理得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，

Δ＝16m2－4×3×(2m2－8)>0，即m2<12，

x1＋x2＝－，x1x2＝，

因为AM⊥NF，

所以kAM·kNF＝－1，即·＝－1，

整理可得y2(y1－2)＋x1(x2－2)＝0，

即y1y2＋x1x2－2x1－2y2＝0，

即y1y2＋x1x2－2x1－2(x2＋m)＝0，

整理可得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)－2m＝0，

而y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2

＝，

所以－2·－2m＋＝0，

解得m＝－或m＝2(舍)，

所以直线l的方程为y＝x－.

周六

6．已知函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝x3＋x2－x.

(1)若m＝3，求f(x)的极值；

(2)若对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围．

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当m＝3时，f(x)＝＋ln x.

∵f′(x)＝－＋＝，f′(3)＝0，

∴当x>3时，f′(x)>0，f(x)是增函数，

当0<x<3时，f′(x)<0，f(x)是减函数．

∴f(x)有极小值f(3)＝1＋ln 3，没有极大值．

(2)g(x)＝x3＋x2－x，g′(x)＝3x2＋2x－1.

当x∈时，g′(x)>0，

∴g(x)在上是增函数，g(x)max＝g(2)＝10.

对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)恒成立，即对任意x∈，f(x)＝＋ln x≥1恒成立，

即m≥x－xln x恒成立．

令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x.

∴当x>1时，h′(x)<0，当0<x<1时，h′(x)>0，

∴h(x)在(0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，

∴当x∈时，h(x)的最大值为h(1)＝1，

∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞)．