新高考数学二轮复习 第3部分 回扣6　概率与统计 （含解析）

回扣6　概率与统计

1．排列

(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．

(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．

(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.

2．组合

(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．

(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.

(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.

3．二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.

4．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.

(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．

当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，

即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

5．概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

P(A)＝.

(2)互斥事件的概率计算公式

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(3)对立事件的概率计算公式

P()＝1－P(A)．

(4)条件概率公式

P(B|A)＝.

6．统计中四个数据特征

(1)众数：

①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，

即＝(x1＋x2＋…＋xn)．

(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．

方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

标准差：

s＝.

7．离散型随机变量

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

(2)均值公式

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

(3)均值的性质

①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；

③若X服从两点分布，则E(X)＝p.

(4)方差公式

D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.

(5)方差的性质

①D(aX＋b)＝a2D(X)；

②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；

③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(AB)＝P(A)P(B)．

(7)独立重复试验的概率计算公式

P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

8．线性回归

(1)线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)，

其中

(2)相关系数r具有如下性质：

①|r|≤1；

②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；

③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．

9．独立性检验

利用随机变量K2＝(n＝a＋b＋c＋d)来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．

10．正态分布

如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．

满足正态分布的三个基本概率的值是

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

1．关于两个计数原理应用的注意事项

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

2．排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．

3．二项式定理应用时的注意事项

(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．

项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．

(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.

4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．

5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．

(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．

8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．

(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．