新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练4 （含解析）

小题满分练4

一、单项选择题

1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则集合A∩B的子集个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．8

答案　C

解析　因为A＝{0,2,4}，B＝{x|0≤x≤3}，所以A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4.

2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　)

A．0  B．1  C.  D．2

答案　D

解析　方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，

|z2－2z|＝|－2|＝2.

方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|

＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.

3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A.＝0.4x＋2.3   B.＝2x－2.4

C.＝－2x＋9.5   D.＝－0.3x＋4.4

答案　A

解析　因为x与y正相关，所以排除选项C，D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心(3,3.5)，故排除选项B.

4．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　)

A．f(x)的最大值为2

B．f(x)的最小正周期为π

C．f(x)的图象关于x＝对称

D．f(x)为奇函数

答案　C

解析　f(x)＝sin，f(x)max＝，当x＝4kπ＋，k∈Z时取最大值，故A错误；

f(x)的最小正周期为4π，故B错误；

因为f(5π－x)＝sin＝sin

＝sin＝sin＝f(x)，

所以x＝为函数图象的对称轴，故C正确；

f(0)＝1≠0，故f(x)不是奇函数，故D错误．

5．函数y＝－ln(x＋1)的图象大致为(　　)

答案　A

解析　当x>0时，函数为减函数，排除B；当－1<x<0时，函数也是减函数，排除D；又当x＝1时，y＝1－ln 2>0，排除C；只有A满足题意．

6．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝5，cos C＝，△ABC的面积为3，则c等于(　　)

A.  B．2  C.  D.

答案　C

解析　因为cos C＝，所以sin C＝，

由S＝absin C，可得b＝2，

根据余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝29－20×＝13，

所以c＝.

7．(2020·福州模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2 020)>(m－2 020)f(2)，则实数m的取值范围为(　　)

A．(0,2 020)   B．(2 020，＋∞)

C．(2 022，＋∞)   D．(2 020,2 022)

答案　D

解析　设g(x)＝，则g′(x)＝，

∵xf′(x)－f(x)<0且x>0，∴g′(x)<0，

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

又不等式2f(m－2 020)>(m－2 020)f(2)可化为

>，即g(m－2 020)>g(2)，

∴0<m－2 020<2，∴2 020<m<2 022.

8．已知P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|＝|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案　A

解析　依据题意作出图象，如图，

则|PF1|＝|F1F2|＝2c，|OM|＝a，

又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，

所以OM⊥PF2，

所以|MF2|＝＝b，

由双曲线的定义可得，

|PF2|－|PF1|＝2a，

所以|PF2|＝2c＋2a，

所以cos∠OF2M＝＝，

整理得2b＝a＋c，即2b－a＝c，

将c＝2b－a代入c2＝a2＋b2，整理得＝，

所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x.

二、多项选择题

9．(2020·临沂期末)随着手机网络的普及，微信已经成功走进了千家万户，发朋友圈动态也成为大伙儿茶余饭后的一种习惯．某研究人员随机抽取了A地部分居民进行调查，并将使用微信的居民的年龄状况以及相应人数统计如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．年龄在[8,25]岁的居民使用微信的比例最高

B．年龄在[56,60]岁的居民比年龄在[61,65]岁的居民使用微信的比例低

C．年龄在[8,45]岁的居民使用微信的比例超过50%

D．年龄在[36,75]岁的居民使用微信的比例超过50%

答案　ABD

解析　由条形图易知A，B均正确；年龄在[8,45]岁的居民使用微信的共有2 005＋1 256＋1 069＝4 330(人)，总人数为415＋2 005＋1 256＋1 069＋849＋611＋703＋840＋960＋581＝9 289,

4 330÷9 289≈46.6%，则年龄在[8,45]岁的居民使用微信的比例没有超过50%，C错误；同理，年龄在[36,75]岁的使用微信的居民共有5 032人，超过总人数的50%，D正确．

10．已知圆C：x2＋y2－2x＝0，点A是直线y＝kx－3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

答案　ABC

解析　圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1.若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则圆心C到直线y＝kx－3的距离大于2，即>2，解得－1－<k<

－1＋.因为－3<－1－<－2,0<－1＋<1，所以整数k的可能取值为－2，－1,0.

11．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①)．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②)．在折起的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．AC∥平面BEF

B．B，C，E，F四点不可能共面

C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD

D．平面BCE与平面BEF可能垂直

答案　ABC

解析　A中，连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接MO，MF(图略)，则MO∥DE，且DE＝2MO，

又因为DE＝2AF，DE∥AF，所以MO∥AF且MO＝AF，所以四边形AOMF是平行四边形，即AC∥FM，

因为AC⊄平面BEF，FM⊂平面BEF，所以AC∥平面BEF，所以A正确；B中，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，AD⊂平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以B正确；C中，连接CF，DF(图略)，在梯形ADEF中，由勾股定理得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以C正确；D中，延长AF至G，使得AF＝FG，连接BG，EG(图略)，因为BC⊥AF，BC⊥AB，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面ABF，所以平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故D错误．

12. (2020·长沙模拟)如图，已知点E是▱ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn(n∈N*)，连接GnE.点Gn满足＝an＋1·－2(2an＋3)·，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)

A．a3＝13   B．数列{an＋3}是等比数列

C．an＝4n－3   D．Sn＝2n＋1－n－2

答案　AB

解析　因为点E是AB的中点，所以＝，

即－＝－，

则2＝＋.

又因为D，Gn，B三点共线，

所以可设＝λ(λ<0)，

则＝－.

又因为＝an＋1·－2(2an＋3)·，

所以即an＋1＝2an＋3，

所以an＋1＋3＝2(an＋3)，

因为数列{an}是首项为1的正项数列，

所以{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3，

所以a3＝13，Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4.

三、填空题

13．在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．

答案　0.8

解析　∵ξ服从正态分布N(1，σ2)，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，∴由正态分布的对称性可知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8.

14．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.

答案　25

解析　设等差数列{an}的公差为d，

则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.

因为a1＝－2，所以d＝1.

所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.

15．已知函数f(x)＝ex－e－x＋2x，则使不等式f(2x－1)＋f(x)>0成立的x的取值范围是________．

答案　

解析　因为f(x)＝ex－e－x＋2x，

所以f(－x)＝e－x－ex－2x＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数，

设x1<x2，x1，x2∈R，则<，>，

所以－＋2x1<－＋2x2，

即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数，

所以f(2x－1)＋f(x)>0等价于f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，所以2x－1>－x，解得x>.

16．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A是最大角，若＋＝m，则m的取值范围为________．

答案　[，2)

解析　设D是AB中点，

角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

根据垂径定理可知OD⊥AB，

依题意得·＋·

＝m(＋)·＝2，

即＋＝c2，

利用正弦定理化简得cos B＋cos Acos C＝sin C.

由于cos B＝－cos(A＋C)，

所以sin Asin C－cos Acos C＋cos Acos C＝sin C，

即m＝2sin A．由于A是锐角三角形的最大角，

故A∈，sin A∈，

故m＝2sin A∈[，2)．