新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练2(三角、数列、统计案例、解几)（含解析）

大题保分练2(三角、数列、统计案例、解几)

1．(2020·烟台诊断)在条件①(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，②asin B＝bcos，

③bsin ＝asin B中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2，________，求△ABC的面积．

解　若选①，由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，

即b2＋c2－a2＝bc，

所以cos A＝＝＝.

因为A∈(0，π)，所以A＝.

又a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

a＝2，b＋c＝6，所以bc＝4，

所以S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.

若选②，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos.

因为0<B<π，所以sin B≠0，

所以sin A＝cos，

化简得sin A＝cos A－sin A，即tan A＝.

因为0<A<π，所以A＝.

又因为a2＝b2＋c2－2bccos ，

所以bc＝＝＝24－12，

所以S△ABC＝bcsin A＝×(24－12)×＝6－3.

若选③，由正弦定理得sin Bsin ＝sin Asin B，

因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin ＝sin A.

又因为B＋C＝π－A，所以sin ＝sin A，

即cos ＝2sin cos ，

因为0<A<π，所以0<<，所以cos ≠0，

所以sin ＝，所以A＝.

又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

a＝2，b＋c＝6，所以bc＝4，

所以S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.

2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝8，且2a1，a3,3a2成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)已知数列{bn}满足bn＝，求bn的前n项和Sn.

解　(1)∵2a1，a3,3a2成等差数列，

∴2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q，

∴2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－(舍)，

∴an＝8·2n－1＝2n＋2，n∈N*.

(2)由(1)可得，

bn＝＝＝，

∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝

＝

＝－，n∈N*.

3．某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

(1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；

(2)若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？

(参考公式：回归方程＝x＋，其中＝，＝－)

解　(1)＝＝8.5，

＝＝80.

(xi－)(yi－)＝(8－8.5)(90－80)＋(8.2－8.5)·(84－80)＋(8.4－8.5)(83－80)＋(8.6－8.5)(80－80)＋(8.8－8.5)(75－80)＋(9－8.5)(68－80)＝－14，

(xi－)2＝(8－8.5)2＋(8.2－8.5)2＋(8.4－8.5)2＋(8.6－8.5)2＋(8.8－8.5)2＋(9－8.5)2＝0.7，

∴＝＝＝－20.

∴＝－＝80＋20×8.5＝250，

∴线性回归方程为＝－20x＋250.

(2)设工厂获得的利润为L万元，

则L＝(x－4)(－20x＋250)＝－20(x－8.25)2＋361.25，

∴预测该产品的单价定为8.25元/件时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元．

4．(2020·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A，B，|AB|＝2，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值．

(1)解　由题意可知解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明　A(－4,0)，B(0，－2)，设M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，

因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋4y＝16，

由A，P，M三点共线得，＝，

即yP＝，同理可得，xQ＝，

所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2|

＝

＝

＝4·

＝16·＝16，

所以|AQ|·|BP|为定值．