新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 压轴题突破练3（含解析）

压轴题突破练3

1．(2020·北京东城区模拟)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放．从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1 000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%)．

(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和均值；

(3)2019年底，从这1 000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．

解　(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即＝0.8.

(2)由题意X的所有可能值为0,1,2，记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A，B相互独立，且

P(A)＝1－40%＝0.6，P(B)＝1－45%＝0.55，

所以P(X＝0)＝P( )＝(1－0.6)(1－0.55)＝0.18，

P(X＝1)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)

＝0.6×(1－0.55)＋(1－0.6)×0.55＝0.49，

P(X＝2)＝P(AB)＝0.6×0.55＝0.33，

所以X的分布列为

故E(X)＝0×0.18＋1×0.49＋2×0.33＝1.15.

(3)设事件D为“从这1 000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么P(D)＝≈0.02.

回答一：事件D虽然发生，但是发生可能性为0.02，非常小，所以可以认为早期体验用户没有发生变化．

回答二：事件D发生概率虽然小，但是也可能发生，所以可以认为早期体验用户人数增加．

2．(2020·青岛模拟)已知直线l1过坐标原点O且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，圆M过点A，B且与直线y＋2＝0相切．

(1)求圆心M的轨迹C的方程；

(2)若圆心在x轴正半轴上面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点．

①求出圆W的标准方程；

②已知斜率等于－1的直线l2，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求的最小值及此时直线l2的方程．

解　(1)设M(x，y)，由题意得，MO⊥AO，

所以|MO|2＋|OA|2＝|MA|2，

因为圆M的半径为r＝|y＋2|＝|MA|，|AO|＝2，

所以x2＋y2＋4＝(y＋2)2，

化简得圆心M的轨迹C的方程为x2＝4y.

(2)①由(1)知，曲线C为y＝，

设f(x)＝，则f′(x)＝，

设圆W与曲线C的公共点为T(t>0)，

则曲线C在T点处的切线l的斜率k＝f′(t)＝，

由题意，直线l与圆W相切于T点，设圆W的标准方程为(x－a)2＋y2＝2(a>0)，

则直线WT的斜率kWT＝＝，

因为l⊥WT，所以·＝－1，

即t3＋8(t－a)＝0，

又因为(t－a)2＋2＝2，

所以2＋2＝2，

所以t6＋4t4－128＝0，

令t2＝λ，则λ3＋4λ2－128＝0，

所以(λ3－4λ2)＋(8λ2－128)＝0，

即(λ－4)(λ2＋8λ＋32)＝0，所以λ＝4，

所以t＝2，a＝3，

从而圆W的标准方程为(x－3)2＋y2＝2.

②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l2：y＝－x＋m，

由得x2＋4x－4m＝0，

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝－4m，

所以|EF|＝·＝4，

又因为|PQ|＝2＝.

所以＝＝4，

由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点，

所以解得1<m<5，

令1＋m＝u∈(2,6)，

则＝4

＝4≥＋，

当且仅当u＝，即u＝2，即m＝2－1时取等号．

所以当m＝2－1时，的最小值为＋，

此时直线l2的方程为y＝－x＋2－1.