新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练9 （含解析）

小题满分练9

一、单项选择题

1．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b的值为(　　)

A．6  B．－6  C．0  D.

答案　A

解析　∵＝＝＝，若是实数，则6－b＝0，解得b＝6.

2．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)等于(　　)

A．{－2,3}   B．{－2,2,3}

C．{－2，－1,0,3}   D．{－2，－1,0,2,3}

答案　A

解析　∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2}．

又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，

∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．

3．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)

A.  B．5  C.  D．25

答案　B

解析　把|a＋b|＝5两边平方得，

a2＋2a·b＋b2＝50，

由已知，得5＋2×10＋b2＝50，

即b2＝25，∴|b|＝5.

4．微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2019年1月至2019年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．

根据折线图，下列结论正确的是(　　)

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B．月跑步平均里程逐月增加

C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月

D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

答案　D

解析　根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；从折线图上看，月跑步平均里程不是逐月增加，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．

5．(2020·长春模拟)设tan α＝，cos(π＋β)＝－，β∈(0，π)，则tan(2α－β)的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　D

解析　∵tan α＝，

∴tan 2α＝＝＝，

∵cos(π＋β)＝－cos β＝－，β∈(0，π)，

∴cos β＝，sin β＝，tan β＝，

∴tan(2α－β)＝＝.

6．设函数f(x)＝x2ln ，则函数f(x)的图象可能为(　　)

答案　C

解析　定义域为(－1,1)．

因为f(－x)＝x2ln ＝－x2ln ＝－f(x)，

所以排除B，D，

又f ＝ln 3>0.故C正确．

7．(2020·郑州质检)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为(　　)

A．4  B．3  C．2－2  D．2

答案　D

解析　∵a1＝1，a1，a3，a13成等比数列，

∴(1＋2d)2＝1＋12d，得d＝2或d＝0(舍去)，

∴an＝2n－1，∴Sn＝＝n2，

∴＝＝.

令t＝n＋1，则＝t＋－2≥2－2＝2，

当且仅当t＝2，即n＝1时，的最小值为2.

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆x2＋y2＝b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|MF1|＝3|MF2|，则该双曲线的离心率为(　　)

A．2  B．3  C.  D.

答案　D

解析　由双曲线的定义可得

|MF1|－|MF2|＝2a，

又|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝a，|MF1|＝3a.

又|OM|＝b，在△OMF2中，

cos∠MF2O＝，

在△F1MF2中，cos∠MF2O＝＝，

∴＝，

又c2＝a2＋b2，∴c2＝3a2，∴＝3，e＝.

二、多项选择题

9．(2020·长沙模拟)若a，b，c∈R，且a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．ac>bc   B．(a－b)c2≥0

C.<   D．a3>b3

答案　BD

解析　∵a<b，∴a>b.对于A，若c≤0，则不等式不成立；对于B，∵c2≥0，∴不等式成立；对于C，若a>0，b<0，则不等式不成立；对于D，不等式成立．

10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四种说法正确的是(　　)

A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于

B．点C到平面ABC1D1的距离为

C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为

D．三棱柱AA1D1－BB1C1外接球的半径为

答案　ABD

解析　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，对于A，易得直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1＝，故A正确；对于B，易证B1C⊥平面ABC1D1，所以点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，为，故B正确；对于C，因为BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，而△AD1C为等边三角形，故两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C错误；对于D，因为三棱柱AA1D1－BB1C1的外接球也是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，所以外接球半径R＝＝，故D正确．

11．(2020·济南质检)纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则下列结论正确的是(　　)

A．2π是f(x)的一个周期

B．f(x)在[0,2π]上有3个零点

C．f(x)的最大值为

D．f(x)在上是增函数

答案　ABC

解析　对于选项A，因为f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin[2(x＋2π)]＝sin x＋sin 2x＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，故A正确；对于选项B，令f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x＝sin x(1＋cos x)＝0，则sin x＝0或cos x＝－1，因为x∈[0,2π]，所以x＝0，π，2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故B正确；对于选项C，f′(x)＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cos x－1＝(cos x＋1)(2cos x－1)，cos x∈[－1,1]，当cos x∈，即x∈(k∈Z)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当cos x∈，即x∈(k∈Z)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)max＝，故C正确；对于选项D，由选项C可知，f(x)在上是增函数，在上是减函数，故D错误．

12．给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图①)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图②，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是(　　)

A.×＝

B.×＝×

C．(＋)×＝×＋×

D．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(×)·

答案　ACD

解析　对于选项A，由图②可知⊥，⊥，，，三个向量构成右手系，|×|＝||·||sin 90°＝4＝||，所以×＝，故A正确；对于选项B，由选项A知×＝，根据向量叉乘运算的定义知×＝－，故B错误；对于选项C，如图，连接AC，延长DA，AB至Q，P，使AQ＝AP＝8，则AE为正方形AQEP的对角线，则AE⊥AC，易知＋＝，则(＋)×＝×，由AE⊥AC，AA1⊥AE，可知向量×和共线．由|×|＝||||sin 90°＝2×4＝8＝||，可知×＝，则(＋)×＝，同理可得×＝，×＝.在正方形AQEP中，＝＋，所以×＝×＋×，即(＋)×＝×＋×，故C正确；对于选项D，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝2×2×4＝16，而(×)·＝·＝||||cos 0°＝4×4＝16，所以V＝(×)·，故D正确．

三、填空题

13．若n的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________．

答案　60

解析　∵各项的二项式系数之和为64，

∴2n＝64，即n＝6；

∴通项公式Tk＋1＝C()6－kk

＝(－2)kC ，

令3－k＝0，解得k＝2.

∴展开式中常数项为(－2)2×C＝60.

14．已知以点P为圆心的圆经过A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4，则圆P的方程为________________________．

答案　(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40

解析　由题意知，直线AB的斜率k＝1，线段AB的中点坐标为(1,2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，

设圆心P(a，b)，则由点P在直线CD上，

得a＋b－3＝0.①

又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

15.如图所示，在东海某岛的雷达观测站A，发现位于其北偏东45°，距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶．半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos θ＝.已知A，C两点的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/时．

答案　4

解析　∵cos θ＝，∴sin θ＝.

∵∠BAC＝45°－θ，

∴cos∠BAC＝cos(45°－θ)＝(cos θ＋sin θ)＝.

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝800＋100－2×20×10×＝340.

故BC＝2(海里)．

∴货船的船速为4 海里/时．

16．(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝

则x∈[－1，e]时，f(x)的最小值为________，设g(x)＝[f(x)]2－f(x)＋a，若函数g(x)有6个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　－4　

解析　当x∈[1，e]时，f(x)＝ln x，

此时函数在区间上单调递增，故此时函数的最小值为

f(1)＝ln 1＝0，

当x∈[－1,1)时，f(x)＝2x3－3x2＋1，

则f′(x)＝6x2－6x＝0，x＝1(舍)或x＝0，

且有f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

因为f(－1)＝－2－3＋1＝－4<f(1)，

故函数f(x)在[－1，e]上的最小值为－4；

令t＝f(x)，g(x)＝0，即t2－t＝－a，

作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象最多只有三个交点，

所以0<t<1，即说明方程t2－t＝－a有两个(0,1)内的不相等的根，亦即函数y＝t2－t在(0,1)内的图象与直线y＝－a有两个交点，

因为y＝t2－t＝2－，

根据y＝t2－t的图象可知，－<－a<0，

即实数a的取值范围为0<a<.