新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练5 （含解析）

小题满分练5

一、单项选择题

1．已知集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝，则A∩B等于(　　)

A．∅   B．{x|x<1}

C．{x|0<x<1}   D．{x|－2<x<0}

答案　D

解析　因为A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<0或x>1}，所以A∩B＝{x|－2<x<0}．

2．已知复数z满足(1＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则|z|的值为(　　)

A．1  B.  C．－1  D．－

答案　A

解析　因为z＝＝＝－i，所以|z|＝1.

3．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)

A．a＋2b  B．2a＋b  C．a－2b  D．2a－b

答案　D

解析　由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°，

故a·b＝|a||b|cos θ＝.

对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；

对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；

对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；

对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.

4．“ln x>ln y”是“x<y”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由ln x>ln y，得x>y>0，此时x<y<y；反之x<y成立时，可以取x＝－1，y＝－2，不能推出ln x>ln y．故“ln x>ln y”是“x<y”的充分不必要条件．

5．若函数f(x)＝x3－2ln x＋4，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝x＋4   B．y＝x－3

C．y＝2x＋3   D．y＝3x＋2

答案　A

解析　依题意知f(1)＝5，f′(x)＝3x2－，f′(1)＝1，

由点斜式得y－5＝x－1，即切线方程为y＝x＋4.

6.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从A到B这部分电路能通电的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　从A到B电路不能正常工作的概率为

P1＝×

＝×＝，

所以从A到B电路能正常工作的概率为

P＝1－P1＝1－＝.

7．(2020·重庆模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上一点P满足PF2⊥x轴，且PF1与圆x2＋y2＝相切，则该椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设PF1与圆x2＋y2＝相切于点Q，则|OQ|＝，

|F1Q|＝＝c，

∵△OF1Q∽△PF1F2，

∴＝＝，

即＝＝＝，

∴|PF1|＝，|PF2|＝，

由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴＋＝2a，

∴椭圆的离心率为e＝＝.

8．(2020·济南模拟)在△ABC中，cos A＋cos B＝，AB＝2.当sin A＋sin B取最大值时，△ABC内切圆的半径为(　　)

A．2－3  B．2－2  C.  D．2

答案　A

解析　设sin A＋sin B＝m，

又cos A＋cos B＝，

两式平方相加得2＋2cos(A－B)＝m2＋3，

∴m2＝2cos(A－B)－1，∴|m|≤1，

∴当A＝B时，(sin A＋sin B)max＝1，

此时A＝B＝，∴C＝π.

在等腰三角形ABC中，又AB＝2，∴AC＝BC＝2.

设△ABC内切圆半径为r，则

(2＋2＋2)r＝×2×2×sin ，

∴r＝2－3.

二、多项选择题

9．(2020·聊城模拟)下列说法正确的是(　　)

A．回归直线一定经过样本点的中心(，)

B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D．在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明模拟效果越好

答案　ACD

解析　回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)，故A正确；相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r∈[－1,1]且|r|越大，相关性越强，故B错；由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故C正确；在回归分析中，R2越接近于1，模拟效果越好，故D正确．

10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象不可能是(　　)

答案　ACD

解析　因为f(x)在x＝1处取得极大值，所以可设x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0，所以当x>1时，y＝－xf′(x)>0，A，C不可能；当0<x<1时，y＝－xf′(x)<0，D不可能．

11．(2020·青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的是(　　)

A．数列{an＋1}是等差数列

B．数列{an＋1}是等比数列

C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1

D．Tn<1

答案　BCD

解析　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，

即an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，

可化为an＋1＋1＝2(an＋1)．

由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

则an＋1＝2n，即an＝2n－1，

又＝＝－，

可得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，

故A错误，B，C，D正确．

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f(x)＝f ，f(x)＋f ＝0，下列说法正确的是(　　)

A．ω＝2，φ＝

B．f(x)的图象关于点对称

C．f(x)的图象关于直线x＝－对称

D．f 为偶函数

答案　BD

解析　因为f(x)＝f ，f(x)＋f ＝0，

所以f ＝－f ，

即f ＝－f ，

所以f ＝－f(x)，所以f(π＋x)＝f(x)，

所以T＝π，故ω＝2.

因为f(x)＝f ，

所以x＝是f(x)的一条对称轴，

所以f ＝sin＝±1，

所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，

又|φ|<，所以φ＝－，

所以f(x)＝sin，所以A错误．

因为f ＝sin＝0.

f ＝sin＝，

所以B正确，C错误；

又f ＝sin＝sin＝－cos 2x，所以f 为偶函数，所以D正确．

三、填空题

13．(2020·全国Ⅲ)6的展开式中常数项是________．(用数字作答)

答案　240

解析　6的展开式的通项公式为

Tk＋1＝C(x2)6－kk＝C2kx12－3k，

令12－3k＝0，解得k＝4，

得常数项为C24＝240.

14．已知cos＝，α∈，则sin α＝________.

答案　

解析　因为cos＝，α∈，

所以sin＝，

故sin α＝sin＝sincos －

cossin ＝.

15．在三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AC＝AD＝2，CD＝2，则三棱锥A－BCD的外接球的半径为________．

答案　

解析　如图所示，因为AB＝BC＝BD＝2，AC＝AD＝2，

由勾股定理得AB⊥BC，AB⊥BD，

又BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，

所以球心到平面BCD的距离为1，

在△BCD中，由余弦定理得，

cos∠CBD＝＝－，

所以∠CBD＝，

所以△BCD的外接圆的半径为×＝2，

所以三棱锥A－BCD的外接球的半径为＝.

16．设抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，直线AB过焦点F，若|BF|－|AF|＝，则的值为________．

答案　

解析　设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得y2－4ty－4＝0，

所以

所以x1·x2＝(ty1＋1)(ty2＋1)

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＝1，

因为|BF|－|AF|＝，

由抛物线的定义得，x2－x1＝，

所以x1＝，x2＝2，故＝＝.