新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练6 （含解析）

小题满分练6

一、单项选择题

1．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

答案　C

解析　A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}．

2．复数z＝－2＋i2 021的共轭复数等于(　　)

A.＋   B.－

C．－2－i   D．－2＋i

答案　C

解析　因为z＝－2＋i2 021＝－2＋i，则＝－2－i.

3．在等比数列{an}中，a1＝1，＝，则a6的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比为q，由＝q3＝⇒q＝，所以a6＝a1·q5＝.

4．已知a＝log30.8，b＝30.8，c＝0.32.1，则(　　)

A．a<ab<c   B．ac<b<c

C．ab<a<c   D．c<ac<b

答案　C

解析　∵a<0，b>1,0<c<1，∴ab<a<c.

5．函数f(x)＝的大致图象为(　　)

答案　A

解析　对于任意x∈R，f(x)＝≥0，故排除C；x→＋∞时，f(x)→＋∞，故排除B；因为函数是非奇非偶函数，故排除D.

6．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　　)

A．(4,0)  B．(2,0)  C．(0,2)  D．(0,0)

答案　B

解析　设动圆的圆心为C，半径为R，则圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴的交点为M，由圆的性质可知，|CA|＝|CM|＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该动圆必过抛物线的焦点(2,0)．

7．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为

P1＝×××＝；

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为

P2＝×××＝.

所以甲以13∶11赢下此局的概率为P1＋P2＝.

8．(2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝，若f(x)<m－在(0，＋∞)上恒成立，e＝2.718 28…为自然对数的底数，则实数m的取值范围是(　　)

A．m>e  B．m>  C．m>1  D．m>

答案　B

解析　若f(x)<m－在(0，＋∞)上恒成立，

即f(x)＋<m在(0，＋∞)上恒成立，

令g(x)＝f(x)＋＝，

故只需g(x)max<m即可，

g′(x)＝＝，

令g′(x)＝0，得x＝，

当0<x<时，g′(x)>0；当x>时，g′(x)<0，

所以g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，

所以g(x)max＝g()＝，

所以实数m的取值范围是m>.

二、多项选择题

9．新冠肺炎疫情的出现警示我们，人类不文明的行为为各种致病细菌和病毒提供了传播途径，成为现代文明生活的致命软肋，对人类的健康和生命构成了严重威胁．首都文明工程基金会和文明杂志社倡议启动新时代文明工程：呼吁社会公益组织、新媒体和企业机构携手——“餐桌革命　公筷行动”！某机构调查了某地区部分居民疫情前后对餐桌革命(公筷公勺、分餐制)的支持情况，得到如下统计图，则下列说法正确的是(　　)

①不支持　②仅支持分餐　③仅支持公筷　④支持

①不支持　②仅支持分餐　③仅支持公筷　④支持

A．疫情后仅支持公筷和仅支持分餐的居民均增多

B．疫情前后仅支持公筷的居民均多于仅支持分餐的

C．疫情后，不支持餐桌革命的比例下降幅度低于支持餐桌革命的上升幅度

D．疫情后，人们的健康饮食意识明显提高

答案　ABD

解析　由饼图可知，疫情后仅支持公筷和仅支持分餐的比例分别上升至10%,7%，故A正确；疫情前后，仅支持公筷的比例分别为8%,10%，仅支持分餐的比例分别为5%,7%，故B正确；疫情后，不支持餐桌革命的比例下降了42%，支持餐桌革命的比例上升了38%，故C错误；由题图易得，人们的健康饮食意识明显提高，故D正确．

10.(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长和焦距分别为2a,2c，则下列结论正确的是(　　)

A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

答案　ABD

解析　由椭圆的性质和题图可知，卫星向径的取值范围为[a－c，a＋c]，故A正确；卫星在左半椭圆弧运行时扫过的面积较大，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；因为＝－1＋，所以比值越大离心率越小，椭圆越圆，故C错误；因为卫星在运行过程中相同的时间内扫过的面积相等，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确．

11．(2020·湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)在区间上单调递增

C．函数f(x)的最小正周期为π

D．函数f(x)的值域为[－2,2]

答案　BD

解析　对于A选项，函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，因为f ＝－2，f ＝0，所以f ≠f ，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；对于B选项，当x∈时，2x∈，cos x>0，所以f(x)＝2cos xsin x＋sin 2x＝2sin 2x，所以函数f(x)在区间上单调递增，故B正确；对于C选项，因为f ＝，f ＝f ＝0，所以f ≠f ，所以函数f(x)的最小正周期不是π，故C错误；对于D选项，当cos x≥0时，f(x)＝2cos xsin x＋sin 2x＝2sin 2x，其最大值为2，最小值为－2，当cos x<0时，f(x)＝－2cos xsin x＋sin 2x＝0，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，故D正确．

12．(2020·福州检测)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈

[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的值可以为(　　)

A．－1  B.  C．1  D．2

答案　AB

解析　因为g(x)－h(x)＝2x，①

所以g(－x)－h(－x)＝2－x，

又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，

所以g(x)＋h(x)＝2－x，②

联立①②，得g(x)＝，h(x)＝，

由m·g(x)＋h(x)≤0得

m≤＝＝1－，

因为y＝1－为增函数，

所以当x∈[－1,1]时，max＝1－＝，

所以m≤，

结合选项知，m的值可以为－1，.

三、填空题

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

答案　

解析　在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，

∴sin A＝，sin C＝，

∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

又∵＝，∴b＝＝＝.

14．点E是正方形ABCD的边CD的中点，若·＝－2，则·＝________.

答案　3

解析　如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2a，则E(a,2a)，B(2a,0)，D(0,2a)，可得＝(a,2a)，＝(2a，－2a)，由·＝－2，可得2a2－4a2＝－2，解得a＝1，＝(－1,2)，＝(1,2)，则·＝3.

15．已知数列{an}，{bn}，其中数列{an}满足an＋10＝an(n∈N*)，前n项和Sn满足Sn＝

－(n∈N*，n≤10)；数列{bn}满足bn＋12＝bn(n∈N*)，且b1＝1，bn＋1＝bn(n∈N*，n≤12)，则数列{an·bn}的第2 020项的值为________．

答案　

解析　∵an＋10＝an，bn＋12＝bn，

∴数列{an}，{bn}的周期分别为10,12，

∴a2 020＝a10，b2 020＝b4，

又a10＝S10－S9＝－＝1，∴a2 020＝1.

由b1＝1，bn＋1＝bn，得(n＋1)bn＋1＝nbn，

∴{nbn}为常数列，∴4b4＝1·b1，

∴b4＝＝，∴b2 020＝，

∴a2 020·b2 020＝.

16．(2020·常德模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4AD＝4，将直角梯形ABCD沿对角线BD折起，使点A到P点位置，则四面体P－BCD的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．

答案　　π

解析　如图，四面体P－BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面DBC，点P到平面DBC的距离为△PDB斜边DB上的高h，

∵AB·AD＝BD·h，

∴h＝，

故最大体积为V＝S△DBC·h＝××4×2×＝.

△PDB的外心为斜边DB的中点M，△DBC的外心为O，过M作平面PDB的垂线，过O作平面BDC的垂线，两垂线的交点即为球心．

∵平面PBD⊥平面DBC，

∴O即为球心，△DBC的外接圆半径即为球半径，

∴2R＝＝＝.

∴外接球的表面积为S＝4πR2＝π.