专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破

题型1 二次函数与线段最值问题

1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的 顶点记为A. 若点P 是x 轴上一动点, 则 的最小值是(   )

A. 8 B.  C. 9 D.

2.如图, 抛物线 与x 轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.

(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标;

(2)点 P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作 轴, 垂足为C,PC 交AB 于 点D, 求 的最大值, 并求出此时点P 的坐标;

(3)将抛物线 向左平移n 个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n 的值.

3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y轴于点C,.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;

（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?

题型2 二次函数与图形面积问题

4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).

①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；

②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.

5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛物线上一点, 且 在直线AB 的上方.

(1)请直接写出抛物线的解析式.

(2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标.

(3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.

6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.

①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；

②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.

题型3 二次函数与图形判定问题

7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；

(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).

8.如图, 已知点, 以点D 为顶点的抛物线 经过点A, 且与直线 交于点B,.

(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标.

(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.

(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q 为顶点的四边形是 菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：，

平移后抛物线的解析式为 ,

点 A的坐标为.

如图, 作点A 关于 x轴对称的点

连接 交x 轴于点P 则此时 有最小值，最小值为 的长，

易知，

，

的最小值 是.

2.答案： (1)

(2)

(3)

解析： (1)对于,

令, 则, 解得，,.

令, 则,

.

设直线 AB的解析式为,

则 解得

直线AB 的解析式为.

抛物线顶点坐标为.

(2)如图, 过点D 作 轴于点E, 则.，,

.

设点P 的坐标为,

则点D 的坐标为，.

，

又

，

当 时, 的值最大, 最大值为,

此时,

此时点P 的坐标为.

(3)设抛物线的解析式为. 令,

整理, 得,

3.答案：（1）

（2）

（3）

解析:（1）当时,,

解得,,

,

.

,

,

,

抛物线的解析式为;

（2）如图,作于E,

,

,

设,则,

,

,

解得,

,

,

;

（3）如图,作轴,交BC于F,

则,

,

,

,

,由,可知,直线BC的解析式为,

设,则,

,

,

时,PF的最大值为,

的最大值为.

4.答案：(1)

(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；

②命题是假命题

解析：(1)解：将、代入中得

，解得，

抛物线的函数表达式为，

(2)解：抛物线的对称轴为，

设点，则，

①P，Q关于对称，

，则，

矩形的周长为，

当时，l的值最大，最大值为10，

即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.

②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，

当为正方形时，，解得，

点Р的坐标为，点Q的坐标为，，

正方形的面积；

故命题是假命题.

5.答案： (1)

(2) 或

(3) 存在，

解析：(1)将 ，分别代入, 得

解得所以抛物线的解析式为.

(2)设直线AB 的解析式为,

将 ，分别代入, 得 解得

所以直线AB 的解析式为.

如图 (1), 过点P 作 轴, 垂足为M,PM 交AB于 点N, 过点B 作, 垂足为E,

所以

因为，,

所以.

因为 的面积是 面积的 2 倍,

所以, 所以.

设,

则,

所以, 即,

解得，,

所以点P 的坐标为 或.

(3) 存在.

因为, 所以，, 所以,

所以.

因为，,

所以.

设直线 AB交y 轴于点F, 则.

如图 (2), 过点P 作 轴, 垂足为H,PH 交 AB于 点G.

因为, 所以.

因为, 所以,

所以,

所以.

设.

由 (2) 可得,

所以 .

又,

所以当 时, 的值最大, 最大值为.

6.答案：(1)

(2)见解析

①6

②或

解析：(1)由题意，得，

，

此抛物线的解析式为：.

(2)①由可得：

设直线BC的解析式为：，

则，，

直线BC的解析式为：，

设，则，

，

，

当时，S的最大值为6.

②在OB上截取，则，

，

又，，

，

，

，

运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，

直线BP的解析式为：，

，解得或4，

，

，

轴，

ACPQ是以CP为边构成平行四边形，

，

点Q在x轴上，

或.

7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为

(2)

(3)，，，

解析：(1)把点，点代入二次函数得，

，解得，

二次函数解析式为，配方得，

点M的坐标为；

(2)设直线AC解析式为，

把点，代入得，，解得，

直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.

把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，

，解得；

(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，

，，

，

把代入解得，则点N坐标为，

，，

，

，

由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点

①若有，则有，

，，

，

，

，

若点P在y轴右侧，作轴，

，，

，

把代入，解得，

；

同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，

；

②若有，则有，

，

，

若点P在y轴右侧，把代入，解得；

若点P在y轴左侧，把代入，解得；

；.

所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.

8.答案： (1)

(2)

(3)存在, 点P的坐标为，, ， 或

解析： (1) 将 代入, 得,

将 ，分别代入, 得

解得

故抛物线的表达式为.

抛物线的顶点D 的坐标为.

(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于 对称轴对称.

作直线AB, 交直线 于点M, 则点 M即为所求.

令,

解得,,

故.

设直线AB 的表达式为,

将 ，分别代入, 得

解得 故直线AB 的表达式为,

当 时, , 故.

(3)设,

易得 ，

①当 时,该四边形是以BC 为对角线的菱形, 则, 即, 解得,

点P 的坐标为.

②当 时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即, 解得, 故点P 的坐标为 或.

③当 时,该四边形是以 PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,

故点P 的坐标为 或.

综上可知, 点P 的坐标为，,，或

9.答案：(1)

(2)当时，四边形CQMD是平行四边形

(3)点Q的坐标为或

解析：(1)设抛物线的解析式为，

把点的坐标代入，

得，解得

抛物线的解析式为，

即.

(2)点D与点C关于x轴对称，

点，，

设直线BD的表达式为，把，代入得，

，

解得，

直线BD的关系表达式为，

设，，

，

，

当时，四边形CQMD为平行四边形，

，

解得，(不合舍去)，

故当时，四边形CQMD是平行四边形；

(3)在中，，，

，

当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：

①若时，，如图1所示，

当时，，

即，

，

，

，，

，

解得，，(不合舍去)，

，

，，

，

点Q的坐标为；

②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，

，

③由于点M在直线BD上，因此，

这种情况不存在，

综上所述，点Q的坐标为或.