2023届四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试文科数学试题

泸县一中高2020级高三三诊模拟考试

文科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．

下列结论中错误的是

A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加

B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

D．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平

3．复数（是虚数单位）的共轭复数是

A． B． C． D．

4．下列函数中不是偶函数的是

A．      B．     C．     D．

5．设平面向量，，若，则等于

A．4 B．5 C． D．

6．已知，其中，则

A． B． C． D．

7．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，与的等差中项为18，则

A．108 B．117 C．120 D．121

8．已知曲线在点处的切线方程为，则

A．， B．，

C．， D．，

9．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc=3，则的外接圆的周长为

A．2π B．3π C．4π D．

10．在三棱锥中，是等边三角形，顶点在底面的投影是底面的中心，侧面侧面，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为

A． B． C． D．

11．若函数在内有且只有一个零点，则的值为

A．2 B．1 C．3 D．5

12．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是

A． B． C． D．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．

14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．

15．已知是偶函数，则__________．

16．如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是__________．

①对于任意的点，都有

②对于任意的点，四边形不可能为平行四边形

③存在点，使得为等腰直角三角形

④存在点，使得直线平面

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in china）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；

(2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取2件产品，记至少有一件取自的产品件数为事件A，求事件A的概率．

18．（12分）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

（1）求A；

（2）从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19．（12分）如图1，在边长为3的菱形中，已知，且.将梯形沿直线折起，使平面，如图2，分别是上的点.

（1）求证：图2中，平面平面；

（2）若平面平面，求三棱锥的体积.

20．（12分）已知．

（1）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；

（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为且，当时，求实数a的取值范围．

21．（12分）已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点．

(1)说明曲线的形状，并写出其标准方程；

(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（选修4-4 极坐标与参数方程）

在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.

(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；

(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.

23．（选修4-5 不等式选讲）

已知函数.

（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；

（2）为中最大正整数，，，，，求证：.

泸县一中高2020级高三三诊模拟考试

文科数学参考答案：

1．D   2．C  3．C   4．A   5．D  6．D  7．D  8．C  9．B  10．C  11．C  12．B

13．    14．12    15．     16．①②④

17．解：（1）设质量指标值的平均数为，中位数为，则

，

因为区间对应的频率为，区间对应的频率为，区间对应的频率为，

所以中位数在区间上，故，.

（2）样本中质量指标在的产品有件，

记为A，B，C，D，E，F，质量指标在的有件，

记为a，b，c，d，从这10件产品中选取2人的所有选取方法：

AB，AC，AD，AE，AF，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，BE，

BF，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，CE，CF，Ca，Cb，Cc，Cd，DE，

DF，Da，Db，Dc，Dd，EF，Ea，Eb，Ec，Ed，Fa，Fb，Fc，Fd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共45种，

其中至少有一件取自有39种，则.

18．解：（1）因为

由正弦定理得，即  

由余弦定理得  所以

（2）选择①.由正弦定理，

即周长

即周长的取值范围

选择②.，得，得.

由余弦定理得

即周长

，当且仅当时等号成立

即周长的取值范围

19．证明：由题意可知，

因为平面，所以平面，所以，由图条件可知，

又因为，所以平面因为平面，所以平面平面.

(2) 因为平面与平面有公共点，

所以若平面与平面相交，设交线为若平面平面，

因为平面平面则，设

又因为，所以.同理，由平面平面

因为平面平面，平面平面

所以所以

设三棱锥底面上的高为，所以，所以由

所以三棱锥的体积为

20．解：（1）当时，．令．

当时，的零点与函数的零点相同．  

当时，，所以只有一个零点，不合题意．  因此．

又因为函数有三个不同的零点，所以有两个均不等于1的不同零点．

令，解得（舍去负值）．

所以当时，，是减函数；当时，，是增函数．  

因为，所以当，即时，有两个不同零点．

又因为时，，所以函数有三个不同的零点，实数a的取值范围是   

（2）因为，，所以．所以．所以．

所以是的两个根．  又因为，

所以有一个小于0的根，不妨设为．

根据有三个根，可知，          

所以，即．因为，所以．

所以，即．显然，所以a的取值范围是．

21．解：（1）设，则，整理可得：，

曲线为椭圆，标准方程为：.

（2）①当直线与轴垂直时，即，由椭圆对称性可知：，

，点在轴上；

②当直线与轴垂直时，即，则，，

若存在定点，则由①知：点在轴上，可设，

由得：，解得：（舍）或，；

则若存在定点满足题意，则点坐标必然是，

只需证明当直线斜率存在时，对于，都有成立即可.

设，，，

由得：，其中恒成立，

，，

设点关于轴的对称点为，则，

，，

，即三点共线，

；综上所述：存在定点，使得恒成立.

22．解：（1）由已知得则，

由于，使不等式成立，所以，即

（2）由（1）知，则

因为，，，所以，，，

则，（当且仅当时等号成立），

，（当且仅当时等号成立），

（当且仅当时等号成立），

则（当且仅当时等号成立），即.

23．解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，

直线的参数方程为（为参数），

将参数方程代入，整理，

∵直线与曲线有公共点，∴，

∴，或，∵，

∴的取值范围是

（2）曲线的方程可化为，

其参数方程为（为参数），

∵为曲线上任意一点，

∴ ，

∴的取值范围是