甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题

高三数学试卷（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C．  D．

4．已知两个非零向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图1，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形（如图2），正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h．已知曲面棱柱的体积V=Sh，如图1所示的曲面棱柱的体积为，，则AB=（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

6．已知，，，则（    ）

A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b

7．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则（    ）

A．287 B．272 C．158 D．143

8．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．已知双曲线的右顶点为M，以M为圆心，双曲线C的半焦距为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点．若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

10．已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，直线l：x+y-4=0，若直线x-y+m=0与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（    ）

A． B．4 C． D．8

12．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥P-ABC体积的最大值是，则球O的表面积是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩．且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是________．

14．已知实数x，y满足约束条件则的最大值是________．

15．在数列中，，，且，则________．

16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为D，E，若，则p=________．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

通过市场调查，现得到某种产品的资金投入x（单位：百万元）与获得的利润y（单位：百万元）的数据，如下表所示：

（1）求样本的相关系数（精确到0.01）；

（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；

（3）现投入资金1千万元，求获得利润的估计值．

附：相关系数，，

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

18．（12分）

如图，在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面．

（1）证明：平面PAD⊥平面PCD．

（2）若PA=AD=3，AB=1，E在棱AD上，且AD=3AE，求四棱锥P-ABCE的体积．

19．（12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

（1）求角C；

（2）若为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．

20．（12分）

已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）比较与0的大小；

（2）证明：对任意的，恒成立．

注：．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为，曲线N的方程为：xy=9．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线M，N的极坐标方程；

（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）证明：存在，使得恒成立．

（2）当时，，求a的取值范围．

高三数学试卷参考答案（文科）

1．D  因为，所以．

2．A  因为，，所以．

3．B  因为，所以为奇函数，排除AC．当x>0时，，排除D，故选B．

4．C  由得，即或，因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．

5．B  由题意可知该曲面棱柱的底面积．设AB=x，则，解得x=3．

6．D  因为，，，所以．

7．D  由题意可得，，则．

8．B  甲、乙同学所选的科目情况有（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种，故所求概率．

9．D  因为，所以圆心M到渐近线的距离等于半径的一半，则，则，即，解得，则双曲线C的离心率为．

10．D  当时，，则，解得；当时，，则，解得．综上，a的取值范围是．

11．A  由题意可得．令，解得（舍去）．因为，所以点到直线的距离则A，B之间的最短距离是．

12．A  设外接圆的半径为r，则．设球O的半径为R，因为三棱锥P-ABC体积的最大值是，所以，解得R=5，故球O的表面积是．

13．120  由题意可知，则数学成绩为优秀的人数是．

14．7  画出可行域（图略），则直线经过点时，z取得最大值，且最大值是7．

15．  因为，

所以，所以，即，则，故．

16．2  由题意可知，设，则，

，

因为，所以．由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立整理得，则，，从而，解得，故，即．因为，所以，解得．

17．解：（1）由题意得，．

因为，，

所以，

，，

故．

（2），，

故线性回归直线方程为．

（3）当x=10时，百万元．

18．（1）证明：由四边形为矩形，得AD⊥CD．

因为PA⊥底面，平面，所以PA⊥CD．

因为，所以CD⊥平面PAD．

因为平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．

（2）解：因为AD=3AE，AD=3，所以AE=1．

因为四边形ABCE的面积，

所以．

19．解：（1）因为，所以，

即．

因为，所以，

所以，即．

因为，所以．

（2）因为D为AB边的中点，所以，

所以．

在中，由正弦定理，得．

因为为锐角三角形，且，所以，

则，故．

因为，所以，即线段CD长的取值范围为．

20．解：（1）设椭圆C的焦距为2c，

由题意可得解得a=2，b=1．

故椭圆C的标准方程为

（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l：x=my+6，，，

联立整理得，

则，

因为，所以，

所以

．

故为定值，该定值为．

21．（1）解：因为，所以的定义域为，

且．

因为，所以，所以在上单调递增．⋯

因为，所以当时，；当时，；

当时，．

（2）证明：由（1）可知当时，，即．

同理当时，，即当时，，

则，故．

设，则．

设，则，从而在上单调递增．

因为，所以，即，所以在上单调递增，

则，即．

故对任意的，恒成立．

22．解：（1）由，得，

则，则，

所以曲线M的极坐标方程为．

由，得，即，此即曲线N的极坐标方程．

（2）将代入，得．

将代入，得，则．

因为，所以，又，所以．

【注】曲线N的极坐标方程写为也可以，不扣分．

23．（1）证明：因为，

所以．由，得或，

则当时，恒成立，所以存在，使得恒成立．

（2）解：当时，．

由，得，

则，即．

因为当时，，所以

解得，又，所以a的取值范围是．